超越方程

超越方程（英語：transcendental equation）是包含超越函數的方程^[1]，也就是方程中有無法用自變數的多項式或開方表示的函數，與超越方程相對的是代數方程。超越方程的求解無法利用代數幾何來進行。大部分的超越方程求解沒有一般的公式，也很難求得解析解^[2]。

舉例

以下的方程分別因為有指數函數、三角函數等超越函數，因此均為超越方程。

${\displaystyle e^{x}x=1}$

${\displaystyle x=\sin {x}}$

在天文學中，有關軌道偏近點角${\displaystyle E}$的開普勒方程也是超越方程：

${\displaystyle M=E-e\sin {E}}$

其中：

• ${\displaystyle M}$為軌道的平近點角。
• ${\displaystyle e}$為軌道的離心率。

求解方法

超越方程的求解可以利用繪圖法及數值方法求解。若利用繪圖法，可以分別令等式二邊的式子等於另一變數（例如${\displaystyle y}$），然後在二個圖繪製在一起，二個圖的交點即為超越方程的解。數值方法也是以此想法往下延伸，利用數學公式求得二個圖交點的位置。

若是數值很小，或是已知解在某一數值附近，也可以用泰勒級數的方式來用多項式近似超越函數，因此超越方程可用代數方程近似，再針對代數方程求解。用牛頓法也可以求超越方程的數值解。

有些特殊的函數可用來表示超越方程的解。例如複變函數朗伯W函數就可以表示一些超越方程的解。以下的超越方程

${\displaystyle xe^{x}=1}$

其解為${\displaystyle W(1)}$，近似值為${\displaystyle 0.56714329\dots }$（歐米加常數）。

參照

• 代數方程
• 超越函數
• 超越數
• 朗伯W函數

參考文獻

1. 馮有前. 数值分析. 清華大學出版社. 2005: 11. ISBN 7810824953.
2. 姜啟源. 大学数学实验. 清華大學出版社. 2005: 113. ISBN 730210140X.