半長軸

半長軸是幾何學中的名詞，用來描述橢圓和雙曲線的維度。與之對應的就是長軸，半長軸為長軸的一半，一般描述橢圓的最長的直徑。

橢圓的半長軸 (a) 和半短軸 (b)。

橢圓

橢圓的方程式是:

${\displaystyle {\frac {(x-h)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(y-k)^{2}}{b^{2}}}=1,}$

其中(h, k)是笛卡爾坐標系中橢圓的中心，其中任意點由(x, y)給出。

半長軸是橢圓距焦點的最大和最小距離${\displaystyle r_{\text{max}}}$和${\displaystyle r_{\text{min}}}$的平均值— 即從焦點到長軸端點的距離

${\displaystyle a={\frac {r_{\text{max}}+r_{\text{min}}}{2}}.}$

在天文學中，這些極值點稱為拱點。

一個橢圓的長軸是內部最長的直徑，會通過中心和兩個焦點，末端結束於橢圓曲線最寬處。半長軸是長軸的一半，始於中心點經過一個焦點並終結於橢圓的邊界。在特殊狀況a=b中，半長軸就是半徑。

半長軸的長度 ${\displaystyle a\!}$ 與半短軸 ${\displaystyle b\,\!}$ 的關係可以經由離心率${\displaystyle e\,\!}$和半正焦弦${\displaystyle \ell \,\!}$推導如下：

${\displaystyle b=a{\sqrt {1-e^{2}}}\,\!}$

${\displaystyle \ell =a(1-e^{2})\,\!}$.

${\displaystyle a\ell =b^{2}\,\!}$.

拋物線可以被視為是橢圓的極限，將一個焦點固定，而另一個焦點被隨意的移至無窮遠處的方向上，但${\displaystyle \ell \,\!}$仍保持不變。因此${\displaystyle a\,\!}$和${\displaystyle b\,\!}$趨於無限大，${\displaystyle a\,\!}$仍比${\displaystyle b\,\!}$長。

半長軸是橢圓的一個焦點至邊界的最大距離和最小距離的平均值。現在考慮在極座標中的方程式，其中一個焦點位於原點，另一個焦點在x軸上，

${\displaystyle r(1-e\cos \theta )=l\,\!}$.

均值由${\displaystyle r={\ell \over {1+e}}\,\!}$和${\displaystyle r={\ell \over {1-e}}\,\!}$，是 ${\displaystyle a={\ell \over {1-e^{2}}}\,\!}$.

雙曲線（又稱半實軸）

雙曲線的半長軸是兩個分支之間距離的一半。如果a是在X-軸的方向上，則方程式可以表示為：

${\displaystyle {\frac {\left(x-h\right)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\left(y-k\right)^{2}}{b^{2}}}=1}$

在這個項目中的半正焦弦和離心率如下：

${\displaystyle a={\ell \over e^{2}-1}}$

雙曲線的橫軸延伸方向與半長軸的方向一致^[1]。

天文學

軌道週期

某些太陽系軌道（十字表示開普勒值）的軌道週期 T 與半長軸 a（遠日點和近日點的平均值）的雙對數圖，顯示a³/T²是常數（綠線）

在太空動力學，以圓或橢圓軌道環繞中心天體運轉的小天體的軌道週期${\displaystyle T}$，是：

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {a^{3}/\mu }}}$

此處：

${\displaystyle a}$，是軌道的半長軸

${\displaystyle \mu }$是標準重力參數

無論離心率是如何，半長軸相同的橢圓都有相同的軌道週期。

在天文學，是軌道的軌道元素中最重要的，他決定了軌道週期。對太陽系內的天體，半長軸與軌道週期的關係由克卜勒第三定律（原本只是經驗公式）來描述：

${\displaystyle T^{2}\propto a^{3}}$，

此處T是週期，單位為年；a是半長軸，單位為AU。這個形式就是牛頓的二體問題簡化後的形式：

${\displaystyle T^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{G(M+m)}}a^{3}}$，

此處G是重力常數，M是中心天體的質量，而m是軌道上天體的質量。通常，當中心天體的值量遠大於環繞的天體時，m的質量可以忽略不計。座著這樣的假設和簡化之後，克卜勒發現的以天文單位簡化的形式就出現了。

值得注意的是，在軌道上的天體和主要的天體環繞著質心運動的路徑都是橢圓形。在天文學上的半長徑總是主、伴兩星之間的距離，因此行星的軌道參數都是以太陽為中心的項目。在"主體為中心"和"絕對"軌道之間的差別通過對地月系統的認是說明可以有更清楚的認識。質量的比是81.30059，地心的月球軌道半長軸是384,400公里；另一方面，"質心"的月球軌道半長軸是379,700公里，兩著的差別是4,700公里。月球相對於質心的平均軌道速度是1.010公里/秒，地球是0.012公里/秒，兩者之和是1.022公里/秒；同樣的，以地心的半長軸得到的月球軌道速度也是1.022公里/秒。

平均距離

經常會說半長軸是主伴兩天體的平均距離，其實這樣說是不夠精確的，這與如何取得平均值有關。

• 對偏近點角（q.v.）的平均距離的確就是半長軸。
• 對真近點角（從焦點上測量的真實軌道角度）的結果，說也奇怪，是軌道半短軸：${\displaystyle b=a{\sqrt {1-e^{2}}}\,\!}$。

• 最後，是對平近點角（以角度表示，經過近心點之後所經歷軌道週期的分數），是對時間的平均數（通常是對門外漢所謂的"平均"）：${\displaystyle a(1+{\frac {e^{2}}{2}})\,\!}$。

橢圓的平均半徑，是以幾何上的中心來測量的，其值為${\displaystyle {\sqrt {ab}}=a{\sqrt[{4}]{1-e^{2}}}\,\!}$。

時間的平均值與半徑成反比，${\displaystyle r^{-1}\,\!}$，是${\displaystyle a^{-1}\,\!}$。

能量：由狀態向量的半長軸計算

在太空動力學半長軸${\displaystyle a}$，可以從軌道狀態向量得到：

${\displaystyle a={-\mu \over {2\epsilon }}}$（橢圓軌道）

${\displaystyle a={\mu \over {2\epsilon }}}$（雙曲線彈道）

${\displaystyle \epsilon ={v^{2} \over {2}}-{\mu \over \left|\mathbf {r} \right|}}$（特殊軌道能量）

${\displaystyle \mu =GM}$（標準重力參數）

此處：

• ${\displaystyle v}$，是從速度向量得到的軌道上物體的軌道速度，
• ${\displaystyle \mathbf {r} }$，是在笛卡爾坐標系上、相對於位置向量用於計算的軌道元素（即，對環繞地球的物體是以地球中心和赤道為基準，或對環繞太陽的天體是以太陽中心和黃道為基準），
• ${\displaystyle G}$，是重力常數，
• ${\displaystyle M}$，是中心天體的質量。

對特定的中心天體和總比能，無論離心率是多少，半長軸是一個定值。換言之，對特定的一個中心天體和半長軸，具有的總比能是一個定值。

例子

國際太空站的軌道週期是91.74分，它的軌道半長軸是6,738公里。

外部連結

• Semi-major and semi-minor axes of an ellipse（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） With interactive animation

參考資料

1. 7.1 Alternative Characterization. [2008-01-19]. （原始內容存檔於2018-10-24）.