質心

本條目介紹的是古典力學中的質心。關於狹義相對論中的有關概念，詳見相對論質心。

質心為多質點系統的質量中心。若對該點施力，系統會沿著力的方向運動、不會旋轉。質點位置對質量加權取平均值，可得質心位置。以質心的概念計算力學通常比較簡單。質心對應的英文有 center of mass 與 barycenter（或 barycentre，源自古希臘的 βαρύς heavy + κέντρον centre^[1]）。後者指兩個或多個物體互繞物體的質量中心。

Barycenter 在天文學和天文物理上是很重要的一個觀念。從一個物體的質心轉移一個距離至彼此的質心，可以簡化成二體問題來進行計算。在兩個天體當中，有一個比另一個大許多的情況下（在相對封閉的環境），質心通常會位於質量較大的天體之內。因而較小的天體會在軌道上繞著共同的質心運動，而較大的僅僅只會略微"抖動"。地月系統就是這樣的狀況，倆者的質心距離地球的中心4,671公里，而地球的半徑是6,378公里。當兩個天體的質量差異不大時，質心通常會介於兩者之間，而這兩個天體會呈現互繞的現象。冥王星和它的衛星夏戎，還有許多雙小行星和聯星，都是這種情況的例子。木星和太陽的質量相差雖然超過1,000倍，但因為它們之間的距離較大，也是這一類型的例子^[2]。

在天文學，質心座標是非轉動座標，其原點是兩個或多個天體的質心所在。國際天球參考系統是質心座標之一，它的原點是太陽系的質心所在之處。

在幾何學，質心不等同於重心，是二維形狀的幾何中心。

二體問題

主條目：二體問題

新視野號所見冥王星和它的衛星夏戎的系統的質心。

性質

質心不一定要在有重力場的系統中才會有意義，而重心則否。值得注意的是，除非重力場是均勻的，否則同一物質系統的質心與重心通常不在同一假想點上。對於密度均勻、形狀對稱分布的物體，其質心位於其幾何中心處^[3]。

在兩質點系統中，取質心為原點，兩質點連線為x軸，則兩質點坐標${\displaystyle x_{1}}$和${\displaystyle x_{2}}$與質量${\displaystyle m_{1}}$與${\displaystyle m_{2}}$有如下關係：

${\displaystyle {\frac {x_{1}}{x_{2}}}=-{\frac {m_{2}}{m_{1}}}}$^[3]

例子

雙星互繞時它們的質心位置：

兩顆星體質量差不多，例如休神星。	兩顆星體質量不同，例如冥王星與冥衛一。	兩顆星體質量有很大的不同，例如地球與月球。	兩顆星體質量有極大的不同，例如太陽與地球。
兩顆星體以橢圓軌道互繞，此狀況通常稱為聯星。

重心

重力作用的平均位置，定義為各質點相對於重心(質心)的位置向量乘上各質點的重力之和(合力矩)為零。

均勻重力場

在地球表面附近，重力場可被認定為均勻且平行向下，所以重心會等同於質心。 在物理學，使用「質心」來表示質量分布的好處，從以合力來考慮連續體的重力可以看出。考慮一個體積為V的體系（不一定是剛體），並設在物體內位置矢量為r的點的密度為ρ(r)。在均勻的重力場中，每個點r的場的作用力f由下式給出：

${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {r} )=-dm\,g{\vec {k}}=-\rho (\mathbf {r} )dV\,g{\vec {k}},}$

其中dm是在點r的質量，g 是重力加速度，以及k 是定義垂直方向的單位向量。 在這個體系中選擇位置矢量為R的點為參考點，計算出點r所受的合力：

${\displaystyle \mathbf {F} =\int _{V}\mathbf {f} (\mathbf {r} )=\int _{V}\rho (\mathbf {r} )dV(-g{\vec {k}})=-Mg{\vec {k}},}$

以及點r相對點R合力矩：

${\displaystyle \mathbf {T} =\int _{V}(\mathbf {r} -\mathbf {R} )\times \mathbf {f} (\mathbf {r} )=\int _{V}(\mathbf {r} -\mathbf {R} )\times (-g\rho (\mathbf {r} )dV{\vec {k}})=\left(\int _{V}\rho (\mathbf {r} )(\mathbf {r} -\mathbf {R} )dV\right)\times (-g{\vec {k}}).}$

如果這個參考點R正好選在質心，則有

${\displaystyle \int _{V}\rho (\mathbf {r} )(\mathbf {r} -\mathbf {R} )dV=0,}$

這就意味着合力矩T=0。因為其合力矩為零，可以視為體系所有的質量集中於質心，而沒有體系自身轉動的效應。

非均勻重力場

常用於天體力學

平行場

一些不均勻的引力場中可以通過可變但並行的場來建模： g(r) = g(r)n,其中n是一些常數單位矢量。雖然不均勻的引力場不能完全平行，但如果物體足夠小，這種近似可能是有效的。^[4]然後可以將重心定義為構成組成物體位置的特定加權平均值。即是質心平均超過每個粒子的質量，重心平均超過每個粒子的重量：

${\displaystyle \mathbf {r} _{\mathrm {cg} }={\frac {1}{W}}\sum _{i}w_{i}\mathbf {r} _{i},}$

此處 ${\displaystyle \mathbf {w} _{\mathrm {i} }}$ 是 i粒子和W 所有粒子的（標量）總重量。^[5] 該方程始終具有獨特的解決方案，並且在並行場近似中，它與扭矩要求兼容。.^[6] 一個常見的例子涉及地球領域的月亮。使用加權平均定義，月球的重心比其質心更低（更接近地球），因為它的下部受地球引力的影響更大。^[7]

(以下為未翻譯內容，歡迎協助翻譯)

標題

球形場

如果外部重力場是球對稱的，那麼它相當於點質量的場 M ，質點在球對稱的中心 r。此時，重心可定義為一點，在該點上物體的合力可由 牛頓萬有引力定律得到:

${\displaystyle {\frac {GmM(\mathbf {r} _{\mathrm {cg} }-\mathbf {r} )}{|\mathbf {r} _{\mathrm {cg} }-\mathbf {r} |^{3}}}=\mathbf {F} ,}$

此處G是引力常數，m是物體的質量。若合力非零，該等式有獨一解，而且此解滿足扭矩上的要求。^[8] A convenient feature of this definition is that if the body is itself spherically symmetric, then r_cg lies at its center of mass. In general, as the distance between r and the body increases, the center of gravity approaches the center of mass.^[9]

Another way to view this definition is to consider the gravitational field of the body; then r_cg is the apparent source of gravitational attraction for an observer located at r. For this reason, r_cg is sometimes referred to as the center of gravity of M relative to the point r.^[10]

參見

• 二體問題

參考資料

1. Oxford English Dictionary, Second Edition.
2. MacDougal, Douglas W. Newton's Gravity: An Introductory Guide to the Mechanics of the Universe. Berlin: Springer Science & Business Media. December 2012: 199. ISBN 1-4614-5444-1.
3. 趙凱華 羅蔚飲. 胡凱飛 , 編. 新概念物理教程.力学 第二版. 北京: 高等教育出版社. 2004年7月: 124. ISBN 978-7-04-015201-2.
4. Beatty 2006，第45頁. sfn模板錯誤: 無指向目標: CITEREFBeatty2006 (幫助)
5. Beatty 2006，第48頁 harvnb模板錯誤: 無指向目標: CITEREFBeatty2006 (幫助); Jong & Rogers 1995，第213頁 harvnb模板錯誤: 無指向目標: CITEREFJongRogers1995 (幫助).
6. Beatty 2006，第47–48頁. sfn模板錯誤: 無指向目標: CITEREFBeatty2006 (幫助)
7. Asimov 1988，第77頁 harvnb模板錯誤: 無指向目標: CITEREFAsimov1988 (幫助); Frautschi et al. 1986，第269頁 harvnb模板錯誤: 無指向目標: CITEREFFrautschiOlenickApostolGoodstein1986 (幫助).
8. Symon 1964，第259–260頁 harvnb模板錯誤: 無指向目標: CITEREFSymon1964 (幫助); Goodman & Warner 2001，第117頁 harvnb模板錯誤: 無指向目標: CITEREFGoodmanWarner2001 (幫助); Hamill 2009，第494–496頁 harvnb模板錯誤: 無指向目標: CITEREFHamill2009 (幫助).
9. Symon 1964，第260, 263–264頁. sfn模板錯誤: 無指向目標: CITEREFSymon1964 (幫助)
10. Symon 1964，第260頁. sfn模板錯誤: 無指向目標: CITEREFSymon1964 (幫助)

外部連結

• 優酷視頻：創意表演：神一般的力量與平衡術 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）