在量子力學 中，薛定諤方程 （Schrödinger equation ）是描述物理系統的量子態 隨時間演化的偏微分方程 ，為量子力學的基礎方程之一，其以發表者奧地利 物理學家埃爾溫·薛定諤 而命名。[ 1] 量子力學假說 裏，無法從其它任何原理推導而出。[ 2] :17
埃爾溫·薛丁格 在古典力學 裏，人們使用牛頓第二定律 描述物體運動。而在量子力學裏，類似的運動方程 為薛定諤方程。[ 3] :1-2 薛定諤方程的解完備地描述物理系統裏，微觀尺寸粒子 的量子行為；這包括分子 系統、原子 系統、亞原子 系統；另外，薛定諤方程的解還可完備地描述宏觀 系統，可能乃至整個宇宙 。[ 2] :292ff
薛定諤方程可以分為「含時薛定諤方程」與「不含時薛定諤方程」兩種。含時薛定諤方程與時間 有關，描述量子系統的波函數 怎樣隨著時間而演化。不含時薛定諤方程則與時間無關，描述了定態 量子系統的物理性質；該方程的解就是定態量子系統的波函數 。量子事件發生的機率 可以用波函數來計算，其機率幅的絕對值 平方 就是量子事件發生的機率密度 。[ 3] :1-2, 24ff
薛定諤方程所屬的波動力學 可以數學變換為維爾納·海森堡 的矩陣力學 ，或理察·費曼 的路徑積分表述 。[ 4] :166 [ 5] :127 薛定諤方程是個非相對論性方程，不適用於相對論性 理論；對於相對論性微觀系統，必須改使用狄拉克方程 或克萊因-戈爾登方程 等。[ 6] :225-229
含時薛定諤方程描述物理系統隨時間演化，其最廣義形式為：[ 7] :143
H
^
Ψ
=
i
ℏ
∂
∂
t
Ψ
{\displaystyle {\hat {H}}\Psi =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi }
其中，
H
^
{\displaystyle {\hat {H}}}
哈密頓算符 ，
Ψ
{\displaystyle \Psi }
波函數 ，
i
{\displaystyle i}
虛數單位 ，
ℏ
{\displaystyle \hbar }
約化普朗克常數 ，
∂
/
∂
t
{\displaystyle \partial /\partial t}
t
{\displaystyle t}
圖為波函數在某一時刻的實部，橫軸是位置坐標軸。該波函數描述粒子移動於自由空間 的物理行為。該波函數滿足勢函數
V
{\displaystyle V}
這裡 即可觀看這波函數的實部隨時間演化的動畫 。[ 8] :60-62 在三維空間裏，移動於位勢
V
(
r
,
t
)
{\displaystyle V(\mathbf {r} ,t)}
[ 3] :1-2
−
ℏ
2
2
m
∇
2
Ψ
(
r
,
t
)
+
V
(
r
,
t
)
Ψ
(
r
,
t
)
=
i
ℏ
∂
∂
t
Ψ
(
r
,
t
)
{\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} ,t)\Psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)}
其中，
m
{\displaystyle m}
質量 ，
Ψ
(
r
,
t
)
{\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)}
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
t
{\displaystyle t}
波函數 ，
∇
2
{\displaystyle \nabla ^{2}}
拉普拉斯算符 。
術語「薛定諤方程」可以指廣義形式的薛定諤方程，也可指具體形式的薛定諤方程。廣義形式的薛定諤方程名如其實，可以應用於廣泛量子力學領域，表達從狄拉克方程 到量子場論 的各種方程，只要將哈密頓算符的各種複雜表達式代入即可。通常，具體形式的薛定諤方程所描述的系統是實際系統的簡化近似模型，這是為了要避開不必要的複雜數學運算。對於大多數案例，所得到的結果相當準確；但是對於相對論性案例，結果則並不令人滿意。對於更詳盡的細節，請參閱 相對論性量子力學 。
應用薛定諤方程時，必須先給出哈密頓算符的表達式，因此會涉及到計算系統的動能 與勢能 ；將算符表達式代入薛定諤方程，再將所得偏微分方程加以解析，即可找到波函數。關於系統的量子態的信息，全部都會包含在波函數中。
含時薛定諤方程
Ψ
(
r
,
t
)
{\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)}
偏微分方程 ，假定位勢與時間無關：[ 3] :24-25
−
ℏ
2
2
m
∇
2
Ψ
(
r
,
t
)
+
V
(
r
)
Ψ
(
r
,
t
)
=
i
ℏ
∂
∂
t
Ψ
(
r
,
t
)
{\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} )\Psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)}
使用分離變量法 ，令
Ψ
(
r
,
t
)
=
ψ
(
r
)
φ
(
t
)
{\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=\psi (\mathbf {r} )\varphi (t)}
i
ℏ
1
φ
(
t
)
d
φ
(
t
)
d
t
=
−
ℏ
2
2
m
1
ψ
(
r
)
∇
2
ψ
(
r
)
+
V
(
r
)
{\displaystyle i\hbar {\frac {1}{\varphi (t)}}{\frac {d\varphi (t)}{dt}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {1}{\psi (\mathbf {r} )}}\nabla ^{2}\psi (\mathbf {r} )+V(\mathbf {r} )}
注意到等號左手邊是時間的函數，而右手邊則是位置的函數，所以兩邊都等於常數
E
{\displaystyle E}
i
ℏ
1
φ
d
φ
d
t
=
−
ℏ
2
2
m
1
ψ
∇
2
ψ
+
V
=
E
{\displaystyle i\hbar {\frac {1}{\varphi }}{\frac {d\varphi }{dt}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {1}{\psi }}\nabla ^{2}\psi +V=E}
左手邊的方程
i
ℏ
1
φ
(
t
)
d
φ
(
t
)
d
t
=
E
{\displaystyle i\hbar {\frac {1}{\varphi (t)}}{\frac {d\varphi (t)}{dt}}=E}
φ
(
t
)
=
e
−
i
E
t
ℏ
{\displaystyle \varphi (t)=e^{\frac {-iEt}{\hbar }}}
右手邊的方程可轉化為不含時薛定諤方程：
−
ℏ
2
2
m
∇
2
ψ
(
r
)
+
V
(
r
)
ψ
(
r
)
=
E
ψ
(
r
)
{\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi (\mathbf {r} )+V(\mathbf {r} )\psi (\mathbf {r} )=E\psi (\mathbf {r} )}
不含時薛定諤方程也可寫為
H
^
ψ
=
E
ψ
{\displaystyle {\hat {H}}\psi =E\psi }
其中，
H
^
=
−
ℏ
2
2
m
∇
2
+
V
(
r
)
{\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} )}
哈密頓算符 。
雖然含時薛定諤方程能夠啟發式 地由幾個假設推導出來，但為便於論述，在作理論量子力學研究時，經常會直接將這方程當作一個基本假定。[ 15] :165-167
薛定諤將哈密頓類比延伸至量子力學與波動光學之間。[ 17] 「哈密頓類比」是威廉·哈密頓 在研究古典力學 時給出的理論，又稱為「光學-力學類比」；哈密頓指出，在古典力學裏粒子的運動軌道，就如同在幾何光學 裏光線的傳播路徑；垂直於這軌道的等作用量 曲面，就如同垂直於路徑的等傳播時間曲面；描述粒子運動的最小作用量原理 ，就如同描述光線傳播的費馬原理 。哈密頓發現，使用哈密頓-雅可比方程式，可以推導出最小作用量原理與費馬原理；同樣的形式論，可以描述光的物理行為，不論光是由遵守費馬原理的光線組成，還是由遵守最小作用量原理的粒子組成。[ 17]
很多光的性質，例如，衍射 、干涉 等等，無法用幾何光學的理論來作解釋，必須要用到波動光學的理論來證實。這意味著幾何光學不等價於波動光學，幾何光學是波動光學的波長超短於粒子軌道曲率半徑 的極限案例。哈密頓又研究發現，使用哈密頓-雅可比方程式也可以描述波動光學裏遵守惠更斯原理 的光波，只要將光線的等傳播時間曲面改為光波的波前 。薛丁格尋思，古典力學與量子力學之間的關係，就如同幾何光學與波動光學之間的關係；哈密頓-雅可比方程式 應該對應於量子力學的波動方程式在某種極限的案例，而這極限應該也是物質波波長超短於粒子軌道曲率半徑的極限（或按照對應原理 ，普朗克常數趨於0的極限）；按照先前哈密頓類比的模式，依樣畫葫蘆，應該可以找到正確形式的波動方程式。這想法很正確，經過一番努力，他成功地推導出薛丁格方程式 。[ 17] [ 1]
假設一個粒子移動於顯不含時位勢
V
(
r
)
{\displaystyle V(\mathbf {r} )}
哈密頓-雅可比方程 為[ 1]
1
2
m
(
∇
S
)
2
+
V
+
∂
S
∂
t
=
0
{\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\boldsymbol {\nabla }}S\right)^{2}+V+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0}
其中，
S
(
r
,
a
;
t
)
{\displaystyle S(\mathbf {r} ,{\boldsymbol {a}};t)}
哈密頓主函數 ，
a
{\displaystyle {\boldsymbol {a}}}
運動常數 向量。
由於位勢顯性不含時，哈密頓主函數可以分離成兩部分：
S
=
W
(
r
,
a
)
−
E
t
{\displaystyle S=W(\mathbf {r} ,{\boldsymbol {a}})-Et}
其中，顯性不含時的函數
W
(
r
,
a
)
{\displaystyle W(\mathbf {r} ,{\boldsymbol {a}})}
哈密頓特徵函數 ，
E
{\displaystyle E}
將哈密頓主函數公式代入粒子的哈密頓-雅可比方程，稍加運算，可以得到
|
∇
S
|
=
2
m
(
E
−
V
)
{\displaystyle |{\boldsymbol {\nabla }}S|={\sqrt {2m(E-V)}}}
哈密頓主函數對於時間的全導數是
d
S
d
t
=
∂
S
∂
t
+
∇
S
⋅
d
r
d
t
{\displaystyle {\frac {dS}{dt}}={\frac {\partial S}{\partial t}}+\nabla S\cdot {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}}
哈密頓主函數
S
{\displaystyle S}
等值曲面
σ
0
{\displaystyle \sigma _{0}}
0
=
∂
S
∂
t
+
∇
S
⋅
d
r
d
t
=
−
E
+
∇
S
⋅
d
r
d
t
{\displaystyle 0={\frac {\partial S}{\partial t}}+\nabla S\cdot {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=-E+\nabla S\cdot {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}}
所以，在設定等值曲面的正負面之後，
σ
0
{\displaystyle \sigma _{0}}
法線 方向移動的速度
u
{\displaystyle u}
u
=
d
r
d
t
=
E
|
∇
S
|
=
E
2
m
(
E
−
V
)
{\displaystyle u={\frac {dr}{dt}}={\frac {E}{|\nabla S|}}={\frac {E}{\sqrt {2m(E-V)}}}}
這速度
u
{\displaystyle u}
相速度 ，而不是粒子的移動速度
v
{\displaystyle v}
v
=
|
∇
S
|
m
=
2
(
E
−
V
)
m
{\displaystyle v={\frac {|{\boldsymbol {\nabla }}S|}{m}}={\sqrt {\frac {2(E-V)}{m}}}}
試想
σ
0
{\displaystyle \sigma _{0}}
相位 曲面。既然粒子具有波粒二象性 ，假設粒子的波函數所擁有的相位與
S
{\displaystyle S}
Ψ
(
r
,
t
)
=
A
(
r
)
e
i
S
/
κ
{\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=A(\mathbf {r} )e^{iS/\kappa }}
其中，
κ
{\displaystyle \kappa }
A
(
r
)
{\displaystyle A(\mathbf {r} )}
將哈密頓主函數的公式代入
Ψ
(
r
,
t
)
{\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)}
Ψ
(
r
,
t
)
=
A
(
r
)
e
i
(
W
−
E
t
)
/
κ
{\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=A(\mathbf {r} )e^{i(W-Et)/\kappa }}
注意到
E
/
κ
{\displaystyle E/\kappa }
E
=
ℏ
ω
{\displaystyle E=\hbar \omega }
ℏ
{\displaystyle \hbar }
約化普朗克常數 ，
ω
{\displaystyle \omega }
角頻率 。他嘗試設定
κ
=
ℏ
{\displaystyle \kappa =\hbar }
Ψ
{\displaystyle \Psi }
Ψ
(
r
,
t
)
=
A
(
r
)
e
i
(
W
−
E
t
)
/
ℏ
=
ψ
(
r
)
e
−
i
E
t
/
ℏ
{\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=A(\mathbf {r} )e^{i(W-Et)/\hbar }=\psi (\mathbf {r} )e^{-iEt/\hbar }}
其中，
ψ
(
r
)
=
A
(
r
)
e
i
W
(
r
)
/
ℏ
{\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=A(\mathbf {r} )e^{iW(\mathbf {r} )/\hbar }}
Ψ
(
r
,
t
)
{\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)}
波動方程 為
∇
2
Ψ
−
1
u
2
∂
2
Ψ
∂
t
2
=
0
{\displaystyle \nabla ^{2}\Psi -{\frac {1}{u^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial t^{2}}}=0}
將
Ψ
(
r
,
t
)
{\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)}
波動方程 ，經過一番運算，可以得到
∇
2
Ψ
+
E
2
ℏ
2
u
2
Ψ
=
∇
2
Ψ
+
2
m
(
E
−
V
)
ℏ
2
Ψ
=
0
{\displaystyle \nabla ^{2}\Psi +{\frac {E^{2}}{\hbar ^{2}u^{2}}}\Psi =\nabla ^{2}\Psi +{\frac {2m(E-V)}{\hbar ^{2}}}\Psi =0}
注意到
E
Ψ
=
i
ℏ
∂
Ψ
∂
t
{\displaystyle E\Psi =i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}}
−
ℏ
2
2
m
∇
2
Ψ
(
r
,
t
)
+
V
Ψ
(
r
,
t
)
=
i
ℏ
∂
Ψ
(
r
,
t
)
∂
t
{\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi (\mathbf {r} ,t)+V\Psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\frac {\partial \Psi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}}
在量子力學裏，所有事件發生的機率，其總和等於1，這特性稱為歸一性 ，以方程表示為[ 3] :12-15
∫
−
∞
∞
Ψ
∗
(
x
,
t
)
Ψ
(
x
,
t
)
d
x
=
1
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\ \Psi ^{*}(x,t)\Psi (x,t)\ \mathrm {d} x=1}
為了滿足這特性，必須將波函數歸一化 。薛定諤方程能夠自動地維持波函數的歸一性。假若，某波函數
Φ
(
x
,
t
)
{\displaystyle \Phi (x,t)}
線性方程 ，
Φ
(
x
,
t
)
{\displaystyle \Phi (x,t)}
ϕ
(
x
)
=
A
Φ
(
x
,
0
)
{\displaystyle \phi (x)=A\Phi (x,0)}
A
{\displaystyle A}
∫
−
∞
∞
ϕ
∗
(
x
)
ϕ
(
x
)
d
x
=
1
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\ \phi ^{*}(x)\phi (x)\ \mathrm {d} x=1}
這樣，新波函數
Φ
A
(
x
,
t
)
=
A
Φ
(
x
,
t
)
{\displaystyle \Phi _{A}(x,t)=A\Phi (x,t)}
Φ
A
(
x
,
0
)
{\displaystyle \Phi _{A}(x,0)}
Ψ
(
x
,
t
)
{\displaystyle \Psi (x,t)}
總機率對於時間的導數為 [ 3] :12-15
d
d
t
∫
−
∞
∞
Ψ
∗
(
x
,
t
)
Ψ
(
x
,
t
)
d
x
=
∫
−
∞
∞
(
∂
Ψ
∗
∂
t
Ψ
+
Ψ
∗
∂
Ψ
∂
t
)
d
x
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{-\infty }^{\infty }\ \Psi ^{*}(x,t)\Psi (x,t)\ \mathrm {d} x=\int _{-\infty }^{\infty }\ ({\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}\Psi +\Psi ^{*}{\frac {\partial \Psi }{\partial t}}\ )\mathrm {d} x}
思考含時薛定諤方程，
−
ℏ
2
2
m
∂
2
Ψ
∂
x
2
+
V
(
x
)
Ψ
=
i
ℏ
∂
Ψ
∂
t
{\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial x^{2}}}+V(x)\Psi =i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}}
其複共軛 是
−
ℏ
2
2
m
∂
2
Ψ
∗
∂
x
2
+
V
(
x
)
Ψ
∗
=
−
i
ℏ
∂
Ψ
∗
∂
t
{\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}\Psi ^{*}}{\partial x^{2}}}+V(x)\Psi ^{*}=-i\hbar {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}}
將這兩個方程分別乘以波函數和波函數的共軛，再相減，可以得到
∂
Ψ
∗
∂
t
Ψ
+
Ψ
∗
∂
Ψ
∂
t
=
−
i
ℏ
2
m
(
∂
2
∂
x
2
Ψ
∗
)
Ψ
+
i
ℏ
V
Ψ
∗
Ψ
−
Ψ
∗
i
ℏ
V
Ψ
+
Ψ
∗
i
ℏ
2
m
(
∂
2
∂
x
2
Ψ
)
=
−
i
ℏ
2
m
(
∂
2
∂
x
2
Ψ
∗
)
Ψ
+
Ψ
∗
i
ℏ
2
m
(
∂
2
∂
x
2
Ψ
)
=
i
ℏ
2
m
∂
∂
x
(
Ψ
∗
∂
∂
x
Ψ
−
Ψ
∂
∂
x
Ψ
∗
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}\Psi +\Psi ^{*}{\frac {\partial \Psi }{\partial t}}&=-{\frac {i\hbar }{2m}}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\Psi ^{*}\right)\Psi +{\frac {i}{\hbar }}V\Psi ^{*}\Psi -\Psi ^{*}{\frac {i}{\hbar }}V\Psi +\Psi ^{*}{\frac {i\hbar }{2m}}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\Psi \right)\\&=-{\frac {i\hbar }{2m}}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\Psi ^{*}\right)\Psi +\Psi ^{*}{\frac {i\hbar }{2m}}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\Psi \right)\\&={\frac {i\hbar }{2m}}{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\Psi ^{*}{\frac {\partial }{\partial x}}\Psi -\Psi {\frac {\partial }{\partial x}}\Psi ^{*}\right)\\\end{aligned}}}
所以，總機率對於時間的導數為
d
d
t
∫
−
∞
∞
Ψ
∗
(
x
,
t
)
Ψ
(
x
,
t
)
d
x
=
∫
−
∞
∞
i
ℏ
2
m
∂
∂
x
(
Ψ
∗
∂
∂
x
Ψ
−
Ψ
∂
∂
x
Ψ
∗
)
d
x
=
i
ℏ
2
m
(
Ψ
∗
∂
∂
x
Ψ
−
Ψ
∂
∂
x
Ψ
∗
)
|
−
∞
∞
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{-\infty }^{\infty }\ \Psi ^{*}(x,t)\Psi (x,t)\ \mathrm {d} x&=\int _{-\infty }^{\infty }\ {\frac {i\hbar }{2m}}{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\Psi ^{*}{\frac {\partial }{\partial x}}\Psi -\Psi {\frac {\partial }{\partial x}}\Psi ^{*}\right)\ \mathrm {d} x\\&={\frac {i\hbar }{2m}}\left.\left(\Psi ^{*}{\frac {\partial }{\partial x}}\Psi -\Psi {\frac {\partial }{\partial x}}\Psi ^{*}\right)\right|_{-\infty }^{\infty }\\\end{aligned}}}
在無窮遠的極限，符合實際物理的波函數必須等於零：
d
d
t
∫
−
∞
∞
Ψ
∗
(
x
,
t
)
Ψ
(
x
,
t
)
d
x
=
0
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{-\infty }^{\infty }\ \Psi ^{*}(x,t)\Psi (x,t)\ \mathrm {d} x=0}
因此，薛定諤方程會維持波函數的歸一化性質，這性質不會隨著時間的流易而改變。
波函數
Ψ
(
x
,
t
)
=
ψ
E
(
x
)
e
−
i
E
t
/
ℏ
{\displaystyle \Psi (x,t)=\psi _{E}(x)e^{-iEt/\hbar }}
定態 ，雖然波函數本身與時間有關，機率密度
P
(
x
)
=
Ψ
∗
(
x
,
t
)
Ψ
(
x
,
t
)
=
|
ψ
E
(
x
)
|
2
{\displaystyle P(x)=\Psi ^{*}(x,t)\Psi (x,t)=|\psi _{E}(x)|^{2}}
E
{\displaystyle E}
O
{\displaystyle O}
期望值 都是常數：[ 3] :26-29
⟨
O
⟩
=
∫
−
∞
∞
Ψ
∗
(
x
,
t
)
O
^
Ψ
(
x
,
t
)
d
x
=
∫
−
∞
∞
ψ
E
∗
(
x
)
O
^
ψ
E
(
x
)
d
x
{\displaystyle \langle O\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\ \Psi ^{*}(x,t){\hat {O}}\Psi (x,t)\ \mathrm {d} x=\int _{-\infty }^{\infty }\ \psi _{E}^{*}(x){\hat {O}}\psi _{E}(x)\ \mathrm {d} x}
波函數
Ψ
(
x
,
t
)
{\displaystyle \Psi (x,t)}
相位因子
e
−
i
E
t
/
ℏ
{\displaystyle e^{-iEt/\hbar }}
ψ
E
(
x
)
{\displaystyle \psi _{E}(x)}
不含時薛定諤方程有無窮多個本徵函數解
ψ
n
(
x
)
{\displaystyle \psi _{n}(x)}
E
n
{\displaystyle E_{n}}
[ 3] :26-29
H
^
ψ
n
=
E
n
ψ
n
{\displaystyle {\hat {H}}\psi _{n}=E_{n}\psi _{n}}
含時薛定諤方程的一般解是這些解的線性組合：
Ψ
=
∑
n
c
n
ψ
n
e
−
i
E
n
t
/
ℏ
{\displaystyle \Psi =\sum _{n}c_{n}\psi _{n}e^{-iE_{n}t/\hbar }}
其中，
c
n
{\displaystyle c_{n}}
為了滿足歸一性，
∑
n
|
c
n
|
2
=
1
{\displaystyle \sum _{n}|c_{n}|^{2}=1}
這線性組合與時間有關，對應的機率密度與各種期望值都與時間有關。
薛丁格方程與其解在物理學領域造成思維方面的突破性發展。薛丁格方程是一種嶄新的方程，關於它的解析引導出很多不尋常、出乎意料之中的結果。
在古典力學裏，運動於空間的粒子在任何時刻，都具有確定的位置與動量。這些物理量按照牛頓運動定律 進行決定性 的演化。在量子力學裏，粒子並不具有確定的位置與動量，對於這些物理量進行測量，會得到遵守粒子運動的機率分佈 的隨機 結果。
從含時薛定諤方程可以計算出粒子的波函數。按照廣義統計詮釋 ，由波函數
Ψ
(
x
,
t
)
{\displaystyle \Psi (x,t)}
P
(
x
,
t
)
{\displaystyle P(x,t)}
P
(
x
,
t
)
=
Ψ
∗
(
x
,
t
)
Ψ
(
x
,
t
)
{\displaystyle P(x,t)=\Psi ^{*}(x,t)\Psi (x,t)}
因此，可以預測在某時刻，粒子處於某區域的機率。薛定諤方程描述粒子的波函數怎樣隨著時間流易而產生決定性演化。儘管可以計算出波函數的完整形式，也可以計算出粒子運動的機率分佈，但薛定諤方程無法準確地預測粒子在哪個時刻會處於哪個區域。[ 3] :106-109
從波動觀分析，薛丁格方程式乃是一個波動方程式，它完美地描述一個與時間、位置有關的量子波所發生的運動行為與所具有的量子性質，而解答這波動方程式的波函數可以詮釋為「在某時間、某位置發生相互作用的概率輻」。這寬鬆的詮釋方式可以適用於波動觀或粒子觀。[ 18]
描述粒子物理行為的薛定諤方程是一種波動方程，它的波函數解答是一種延伸於空間的量子物理值波，具有波動性。在波動力學裏，做傅立葉分析 可以得到一個重要結果，即假設波的波長越為明確，則波的位置越為不明確；反之亦然。物質波也遵守這結果，在量子力學裏，這結果蛻化為不確定性原理 ，即粒子的位置與動量不可同時被確定，位置的不確定性
Δ
x
{\displaystyle \Delta {x}}
Δ
p
{\displaystyle \Delta {p}}
[ 3] :18-20
Δ
x
Δ
p
≥
ℏ
/
2
{\displaystyle \Delta {x}\Delta {p}\geq \hbar /2}
不確定性原理表明了量子測量的不確定性，這是量子系統內秉的性質。由此性質還可以推導出粒子的波動性。[ 19] :10
隨著時間流易，雙縫實驗展示出電子累積於探測屏。 根據哥本哈根詮釋 ，粒子的運動遵守薛定諤方程，直到因被測量而發生波函數塌縮 為止。假設對於某系統的某可觀察量做測量，而描述這系統的波函數是由這可觀察量的幾個本徵函數 量子疊加而成，每次對於這可觀察量做測量只能得到本徵函數的本徵值，不能得到任何其它數值。當波函數塌縮現象發生時，由於粒子與測量儀器彼此相互作用，系統的波函數會按照機率分佈隨機的約化為原本幾個本徵函數中的單獨一個本徵函數。[ 3] :106-109 這是量子測量的關鍵要素，將波函數與可觀察量，如位置或動量，關聯在一起。
量子系統隨著時間流易而演化的兩個過程為薛定諤方程預測的演化、波函數塌縮。有些教科書會將這兩種過程分別當作量子力學的假設，然後從假設推導出量子力學的其他理論結果。[ 15] :165-167 很多物理學者認為，從薛定諤方程無法推導出波函數塌縮。這兩種過程具有迥然不同的性質。薛定諤方程預測的演化具有決定性，能夠從最初波函數預測未來的最終波函數；它還具有逆反性，能夠將時間逆反地從最終態演化回最初態。波函數塌縮具有非決定性，從最初態按照機率分佈隨機地約化至最終態，無法預測這最終態到底是甚麼；它還具有非逆反性，測量動作將量子態的信息發掘出來，這是一種無法時間逆反的程序，獲得的額外信息無法再還原。[ 19] :38-39
在勢壘左邊的粒子沒有足夠能量越過勢壘。但是，它可以量子穿隧到勢壘右邊。 在古典力學裏，當一個圓球慢慢地滾上一座高山，假若它沒有足夠能量翻過山頂到另一邊，它會停止滾動，往反方向滾回。但是，薛定諤方程預測，這圓球跑到另一邊的機率大於零，儘管它的能量不足以爬到山頂，這種波動性行為稱為量子穿隧效應 ，無法用微粒說 來解釋這種效應。特別是對於微觀粒子與適當形狀的勢壘，做實驗很容易就可觀察到這種效應。阿爾法衰變 就是因為阿爾法粒子 擺脫了本來不可能擺脫的強作用力 束縛而從原子核 逃逸出來的現象。[ 3] :320-325
非相對論性薛定諤方程是波動方程。遵守這方程進行運動的粒子因此會顯示出波動性行為。雙縫實驗 是一個範例，它能夠展示出粒子通常不會進行的波動行為。從兩條狹縫傳播出來的物質波在某些位置會相長干涉，在某些位置又會相消干涉，因此形成複雜的干涉圖樣。直覺而言，假設，從發射源到探測屏，每次只會出現單獨一個粒子，即每次只有一個粒子獨自通過兩條狹縫，按照微粒說 ，累積多次發射不應該形成干涉圖樣。但是，做實驗可以實際觀察到這干涉圖樣，如同右圖從真正實驗獲得的圖樣所展示。這意味著，雖然每次只有一個粒子通過狹縫，這粒子可以同時通過兩條狹縫，自己與自己互相干涉。[ 註 5] [ 23] :8-9 。
一般來說，解析薛定諤方程會用到下述這些方法：
對於某些特殊的狀況，可以使用特別方法：
當位勢為零時，薛定諤方程為[ 3] :59-64
−
ℏ
2
2
m
∇
2
Ψ
(
r
,
t
)
=
i
ℏ
∂
∂
t
Ψ
(
r
,
t
)
{\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\,\Psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)}
這薛定諤方程有一個平面波 解：
Ψ
(
r
,
t
)
=
e
i
(
k
⋅
r
−
ω
t
)
{\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}}
其中，
k
{\displaystyle \mathbf {k} }
波向量 ，
ω
{\displaystyle \omega }
角頻率 。
將這平面波解代入薛定諤方程，可以得到色散關係式
ℏ
2
k
2
2
m
=
ℏ
ω
{\displaystyle {\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}=\hbar \omega }
由於粒子存在的機率 等於 1 ，波函數
Ψ
(
r
,
t
)
{\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)}
歸一化 ，才能夠表達出正確的物理內涵。對於一般的自由粒子而言，這不是問題，因為，自由粒子的波函數，在位置空間或動量空間都是局部性的，只有在某些局部區域才呈有限值，在其它區域的數值都很微小，可以被忽略。
在量子力學 裏，一個自由粒子的動量與能量不需要呈特定的數值，自由粒子的波函數以波包 形式來表示：
Ψ
(
r
,
t
)
=
1
(
2
π
)
3
/
2
∫
K
A
(
k
)
e
i
(
k
⋅
r
−
ω
t
)
d
k
{\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{(2\pi )^{3/2}}}\int _{\mathbb {K} }A(\mathbf {k} )e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}\,\mathrm {d} \mathbf {k} }
其中，積分區域
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
k
{\displaystyle \mathbf {k} }
為了方便計算，只思考一維空間，
Ψ
(
x
,
t
)
=
1
2
π
∫
−
∞
∞
A
(
k
)
e
i
(
k
x
−
ω
(
k
)
t
)
d
k
{\displaystyle \Psi (x,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }A(k)~e^{i(kx-\omega (k)t)}\,\mathrm {d} k}
其中，振幅
A
(
k
)
{\displaystyle A(k)}
從在時間
t
=
0
{\displaystyle t=0}
Ψ
(
x
,
0
)
{\displaystyle \Psi (x,0)}
A
(
k
)
=
1
2
π
∫
−
∞
∞
Ψ
(
x
,
0
)
e
−
i
k
x
d
x
{\displaystyle A(k)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\,\infty }\Psi (x,0)~e^{-ikx}\,\mathrm {d} x}
已知在時間
t
=
0
{\displaystyle t=0}
Ψ
(
x
,
0
)
{\displaystyle \Psi (x,0)}
傅立葉變換 ，可以推導出在任何時間的波函數
Ψ
(
x
,
t
)
{\displaystyle \Psi (x,t)}
束縛於諧振子位勢，八個能級最低的能量本徵波函數 (
n
=
0
,
1
,
…
7
{\displaystyle n=0,\,1,\,\dots 7}
x
{\displaystyle x}
歸一化 。 在一維諧振子問題裏，質量為
m
{\displaystyle m}
V
(
x
)
=
1
2
m
ω
2
x
2
{\displaystyle V(x)={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}}
哈密頓算符
H
^
{\displaystyle {\hat {H}}}
[ 3] :40-59 [ 24] :33-38
H
^
=
−
ℏ
2
2
m
∂
2
∂
x
2
+
1
2
m
ω
2
x
2
{\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}}
每一個能級 所對應的能量本徵態必需滿足由這哈密頓算符所形成的薛定諤方程 ：
H
^
ψ
n
=
E
n
ψ
n
{\displaystyle {\hat {H}}\psi _{n}=E_{n}\psi _{n}}
採用位置表現，解析這個微分方程，使用冪級數 方法。可以得到一族的解：
ψ
n
(
x
)
=
1
2
n
n
!
(
m
ω
π
ℏ
)
1
/
4
e
(
−
m
ω
x
2
2
ℏ
)
⋅
H
n
(
m
ω
ℏ
x
)
{\displaystyle \psi _{n}(x)={\frac {1}{\sqrt {2^{n}\,n!}}}\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}e^{\left(-{\frac {m\omega x^{2}}{2\hbar }}\right)}\cdot {\mathfrak {H}}_{n}\left({\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x\right)}
n
=
0
,
1
,
2
,
…
{\displaystyle n=0,1,2,\ldots }
其中，函數
H
n
(
x
)
=
(
−
1
)
n
e
x
2
d
n
d
x
n
e
−
x
2
{\displaystyle {\mathfrak {H}}_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}}
埃爾米特多項式 。
對應於函數
H
n
{\displaystyle {\mathfrak {H}}_{n}}
E
n
=
ℏ
ω
(
n
+
1
2
)
{\displaystyle E_{n}=\hbar \omega \left(n+{1 \over 2}\right)}
一維諧振子的能譜有以下性質：
能量被量子化 ，只能呈離散數值，即
ℏ
ω
{\displaystyle \hbar \omega }
最低能量（當n = 0）不為零，而是
ℏ
ω
/
2
{\displaystyle \hbar \omega /2}
零點能量 。在基態中，根據量子力學，一振子執行所謂的「零振動 」，且其平均動能是正值。這樣的現象意義重大但並不那麼顯而易見，因為通常能量的零點並非一個有意義的物理量，因為可以任意選擇；有意義的是能量差。雖然如此，基態能量有許多的意涵，特別是在量子引力學 裏。
能級是等距的，諧振子問題的能譜與波耳模型 或盒中粒子問題 不同。
假設單獨粒子移動於球對稱位勢 ，描述這量子系統運動的薛定諤方程 為[ 3] :133-141 [ 24] :45-52
−
ℏ
2
2
μ
∇
2
ψ
+
V
(
r
)
ψ
=
E
ψ
{\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu }}\nabla ^{2}\psi +V(r)\psi =E\psi }
其中，
μ
{\displaystyle \mu }
質量 ，
ψ
{\displaystyle \psi }
波函數 ，
V
(
r
)
{\displaystyle V(r)}
位勢 ，
r
{\displaystyle r}
採用球坐標
(
r
,
θ
,
ϕ
)
{\displaystyle (r,\,\theta ,\,\phi )}
拉普拉斯算子
∇
2
{\displaystyle \nabla ^{2}}
−
ℏ
2
2
μ
r
2
{
∂
∂
r
(
r
2
∂
∂
r
)
+
1
sin
2
θ
[
sin
θ
∂
∂
θ
(
sin
θ
∂
∂
θ
)
+
∂
2
∂
ϕ
2
]
}
ψ
+
V
(
r
)
ψ
=
E
ψ
{\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu r^{2}}}\left\{{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial }{\partial r}}\right)+{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}\left[\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)+{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}\right]\right\}\psi +V(r)\psi =E\psi }
滿足薛定諤方程的本徵函數
ψ
{\displaystyle \psi }
ψ
(
r
,
θ
,
ϕ
)
=
R
(
r
)
Θ
(
θ
)
Φ
(
ϕ
)
{\displaystyle \psi (r,\,\theta ,\,\phi )=R(r)\Theta (\theta )\Phi (\phi )}
其中，
R
(
r
)
{\displaystyle R(r)}
Θ
(
θ
)
{\displaystyle \Theta (\theta )}
Φ
(
ϕ
)
{\displaystyle \Phi (\phi )}
Θ
(
θ
)
{\displaystyle \Theta (\theta )}
Φ
(
ϕ
)
{\displaystyle \Phi (\phi )}
Y
l
m
(
θ
,
ϕ
)
=
Θ
(
θ
)
Φ
(
ϕ
)
{\displaystyle Y_{lm}(\theta ,\,\phi )=\Theta (\theta )\Phi (\phi )}
球諧函數 。這樣，本徵函數
ψ
{\displaystyle \psi }
ψ
(
r
,
θ
,
ϕ
)
=
R
(
r
)
Y
l
m
(
θ
,
ϕ
)
{\displaystyle \psi (r,\,\theta ,\,\phi )=R(r)Y_{lm}(\theta ,\,\phi )}
參數為天頂角
θ
{\displaystyle \theta }
ϕ
{\displaystyle \phi }
Y
l
m
{\displaystyle Y_{lm}}
−
1
sin
2
θ
[
sin
θ
∂
∂
θ
(
sin
θ
∂
∂
θ
)
+
∂
2
∂
ϕ
2
]
Y
l
m
(
θ
,
ϕ
)
=
l
(
l
+
1
)
Y
l
m
(
θ
,
ϕ
)
{\displaystyle -{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}\left[\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}{\Big (}\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}{\Big )}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}\right]Y_{lm}(\theta ,\phi )=l(l+1)Y_{lm}(\theta ,\phi )}
其中，非負整數
l
{\displaystyle l}
m
{\displaystyle m}
角量子數 、磁量子數 。
磁量子數遵守關係式
−
l
≤
m
≤
l
{\displaystyle -l\leq m\leq l}
l
{\displaystyle l}
m
{\displaystyle m}
Y
l
m
{\displaystyle Y_{lm}}
Y
l
m
(
θ
,
ϕ
)
=
(
i
)
m
+
|
m
|
(
2
l
+
1
)
4
π
(
l
−
m
)
!
(
l
+
m
)
!
P
l
m
(
cos
θ
)
e
i
m
ϕ
{\displaystyle Y_{lm}(\theta ,\,\phi )=(i)^{m+|m|}{\sqrt {{(2l+1) \over 4\pi }{(l-m)! \over (l+m)!}}}\,P_{lm}(\cos {\theta })\,e^{im\phi }}
其中，
i
{\displaystyle i}
虛數單位 ，
P
l
m
(
cos
θ
)
{\displaystyle P_{lm}(\cos {\theta })}
伴隨勒讓德多項式 ，以方程表示為
P
l
m
(
x
)
=
(
1
−
x
2
)
|
m
|
/
2
d
|
m
|
d
x
|
m
|
P
l
(
x
)
{\displaystyle P_{lm}(x)=(1-x^{2})^{|m|/2}\,{\frac {d^{|m|}}{dx^{|m|}}}P_{l}(x)}
而
P
l
(
x
)
{\displaystyle P_{l}(x)}
l
{\displaystyle l}
勒讓德多項式 ，以羅德里格公式 表示為
P
l
(
x
)
=
1
2
l
l
!
d
l
d
x
l
(
x
2
−
1
)
l
{\displaystyle P_{l}(x)={1 \over 2^{l}l!}{d^{l} \over dx^{l}}(x^{2}-1)^{l}}
假若哈密頓量不與時間顯性相關，則
∂
H
^
∂
t
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial {\hat {H}}}{\partial t}}=0}
玻爾模型是根據角動量的量子化的假設而建構，其角動量
L
{\displaystyle L}
L
=
n
h
2
π
=
n
ℏ
{\displaystyle L=n{h \over 2\pi }=n\hbar }
n
=
1
,
2
,
…
{\displaystyle n=1,2,\dots }
正整數 。
德布羅意認為，伴隨電子的電子波應該能夠完整地容納在電子軌道地圓周內，因此圓周應該是電子波波長的倍數：
n
λ
=
2
π
r
{\displaystyle n\lambda =2\pi r}
r
{\displaystyle r}
這相對論性波動方程後來又被奧斯卡·克萊因 （Oskar Klein）與沃爾特·戈爾登 （Walter Gordon）重新發現，因此命名為克萊因-戈爾登方程 ，適用於自旋 為零的粒子，例如膺標介子 （pseudoscalar meson）。 在寫給物理學者威廉·維恩 的一封書信中，他表示，要是我知道更多數學，那該多好！[ 12] :196 實際而言，相對論性理論必需要考慮到粒子的成對生成與成對湮滅，也就是說，粒子數目不守恆。將這兩種機制納入考量後的統計詮釋適用於克萊因-戈爾登方程。[ 6] :227
Laloe, Franck, Do We Really Understand Quantum Mechanics, Cambridge University Press, 2012, ISBN 978-1-107-02501-1 Griffiths, David J., Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.), Prentice Hall, 2004, ISBN 0-13-111892-7 Kragh, Helge. Quantum Generations: A History of Physics in the Twentieth Century Reprint. Princeton University Press. 2002. ISBN 978-0691095523 Sakukrai, J. J.; Napolitano, Jim, Modern Quantum Mechanics 2nd, Addison-Wesley, 2010, ISBN 978-0805382914 Griffiths, David J., Introduction to Elementary Particles 2nd revised, WILEY-VCH, 2008, ISBN 978-3-527-40601-2 Kragh, Helge. Quantum Generations: A History of Physics in the Twentieth Century illustrated, reprint. Princeton University Press. 2002. ISBN 9780691095523 Moore, Walter John, Schrödinger: Life and Thought, England: Cambridge University Press, 1992, ISBN 0-521-43767-9（英語） Erwin Schrödinger. Collected Papers on Wave Mechanics: Third Edition. American Mathematical Soc. 1982. ISBN 978-0-8218-3524-1 Nouredine Zettili. Quantum Mechanics: Concepts and Applications. John Wiley & Sons. 17 February 2009. ISBN 978-0-470-02678-6 French, Anthony, An Introduction to Quantum Physics, W. W. Norton, Inc., 1978, ISBN 0-393-09106-0 Vladimir B. Braginsky; Farid Ya Khalili. Quantum Measurement. Cambridge University Press. 25 May 1995. ISBN 978-0-521-48413-8 Paul Adrien Maurice Dirac. The Principles of Quantum Mechanics. Oxford University Press. 1 January 1981. ISBN 978-0-19-852011-5 Kurt, Gottfried. Two-particle interference (PDF) . American Journal of Physics. Feb 2000, 68 (2): 143-147 [2014-03-08 ] . （原始內容存檔 (PDF) 於2014-03-08）. George Greenstein; Arthur Zajonc. The Quantum Challenge: Modern Research on the Foundations of Quantum Mechanics. Jones & Bartlett Learning. 2006. ISBN 978-0-7637-2470-2 
_instance.png)
![{\displaystyle {\begin{aligned}i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi &=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}(a\Psi _{A}+b\Psi _{B})\\&=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}(a\Psi _{A})+i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}(b\Psi _{B})\\&=\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}(a\Psi _{A})+V(a\Psi _{A})\right]+\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}(b\Psi _{B})+V(b\Psi _{B})\right]\\&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}(a\Psi _{A}+b\Psi _{B})+V(a\Psi _{A}+b\Psi _{B})\\&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\Psi +V\Psi \\\end{aligned}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e19fda36e032c5f76fabcceb6c1c5492421b9e30)
![{\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu r^{2}}}\left\{{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial }{\partial r}}\right)+{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}\left[\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)+{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}\right]\right\}\psi +V(r)\psi =E\psi }](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/addb25894f6807c87280d4c9c5c643c0a45449c0)
![{\displaystyle -{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}\left[\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}{\Big (}\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}{\Big )}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}\right]Y_{lm}(\theta ,\phi )=l(l+1)Y_{lm}(\theta ,\phi )}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dd400bacbaaa42d613d3fd3156fda00fbc0ee0a)
