伴隨勒讓德多項式

伴隨勒讓德多項式（Associated Legendre polynomials，又譯締合勒讓德多項式、連帶勒讓德多項式、關聯勒讓德多項式）^[1]是數學上對如下形式常微分方程解函數序列的稱呼：

${\displaystyle (1-x^{2})\,{\frac {d^{2}\,y}{dx^{2}}}-2x{\frac {dy}{dx}}+\left(\ell [\ell +1]-{\frac {m^{2}}{1-x^{2}}}\right)\,y=0}$

該方程是在球坐標系下求解拉普拉斯方程時得到的，在數學和理論物理學中有重要的意義。

l=5時連帶勒讓德多項式的圖像

因上述方程僅當 ${\displaystyle \ell }$ 和 ${\displaystyle m\,}$ 均為整數且滿足 ${\displaystyle 0\leq m\leq \ell }$ 時，才在區間 [−1, 1] 上有非奇異解，所以通常把 ${\displaystyle \ell }$ 和 ${\displaystyle m\,}$ 均為整數時方程的解稱為伴隨勒讓德多項式；把 ${\displaystyle \ell }$ 和/或 ${\displaystyle m\,}$ 為一般實數或複數時方程的解稱為廣義勒讓德函數（generalized Legendre functions）。

當 ${\displaystyle m\,=0}$、${\displaystyle \ell }$為整數時，方程的解即為一般的勒讓德多項式。

注意當 m 為奇數時，連帶勒讓德多項式並不是多項式。

正交性

與勒讓德多項式一樣，連帶勒讓德多項式在區間 [-1,1] 上也滿足正交性。

${\displaystyle \int _{-1}^{1}P_{l}^{m}(x)P_{k}^{m}(x)\mathrm {d} x={\frac {(l+m)!}{(l-m)!}}{\frac {2}{2l+1}}\delta _{kl}}$

這是因為，與勒讓德方程一樣，連帶勒讓德方程也是施圖姆-劉維爾型的：

${\displaystyle \left\{{\frac {m^{2}}{1-x^{2}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[(1-x^{2}){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\right]\right\}P_{l}^{m}(x)=\lambda P_{l}^{m}(x),\quad \lambda =l(l+1),l\in \mathbb {Z} _{0}^{+}}$

正交性的另一種表述如下，它與下面提到的球諧函數有關。

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }P_{l}^{m}(\cos \theta )P_{k}^{m}(\cos \theta )\sin \theta \mathrm {d} \theta ={\frac {(l+m)!}{(l-m)!}}{\frac {2}{2l+1}}\delta _{kl}}$

與勒讓德多項式的關係

連帶勒讓德多項式可以由勒讓德多項式求 m 次導得到：

${\displaystyle P_{l}^{m}(x)=(1-x^{2})^{m/2}P_{l}^{(m)}(x)}$

等號右邊的上標 (m) 表示求 m 次導。

與超幾何函數的關係

連帶勒讓德函數（即 l, m 不一定要是整數）可以用高斯超幾何函數表達為：

${\displaystyle P_{\nu }^{\mu }(z)={\frac {1}{\Gamma (1-\mu )}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{\mu /2}\,_{2}F_{1}(-\nu ,\nu +1,1-\mu ,{\frac {1-z}{2}})}$

注意 μ 為正整數 m 時 1-μ 是伽瑪函數的奇點，此時等號右邊的式子應該理解為當 μ 趨於 m 時的極限。

負數階連帶勒讓德多項式

顯然連帶勒讓德方程在變換 m→-m 下保持不變，傳統上習慣定義負數階連帶勒讓德多項式為：

${\displaystyle P_{l}^{-m}(x)=(-1)^{m}{\frac {(l-m)!}{(l+m)!}}P_{l}^{m}(x),\quad m=1,\ldots ,l;l\in \mathbb {Z} ^{+}}$

容易驗證，這樣定義的連帶勒讓德多項式能夠使得上面的正交關係可以推廣到 m 為負數的情況。

注意在個別文獻（如上面的圖，以及球諧函數一文）中會直接取

${\displaystyle P_{l}^{-m}(x)=P_{l}^{m}(x)}$

本文不採用這種定義。

與球諧函數的關係

主條目：球諧函數

球諧函數是球坐標下三維空間拉普拉斯方程的角度部分的解，構成一組完備的基組，有着重要的意義。

採用本文中定義的連帶勒讓德多項式的表達式，球諧函數可以表達為：

${\displaystyle Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )={\sqrt {{\frac {(l-m)!}{(l+m)!}}{\frac {2l+1}{4\pi }}}}P_{l}^{m}(\cos \theta )e^{im\phi }}$

由連帶勒讓德多項式的正交關係可以直接得到球諧函數的正交關係：

${\displaystyle \int Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )Y_{k}^{n*}(\theta ,\phi )\mathrm {d} \Omega =\delta _{kl}\delta _{mn}}$

式中 dΩ 是立體角元。

參考文獻

1. 吳崇試. 16. 数学物理方法（第二版）. 北京大學出版社. [2003]. ISBN 9787301068199.

• Dunster, T. M., Legendre and Related Functions, Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (編), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0521192255, MR2723248