分離變數法

數學上，分離變數法是一種解析常微分方程或偏微分方程的方法。使用這方法，可以藉代數來將方程式重新編排，讓方程式的一部分只含有一個變數，而剩餘部分則跟此變數無關。這樣，隔離出的兩個部分的值，都分別等於常數，而兩個部分的值的代數和等於零。

常微分方程

主條目：可分離變量的微分方程

假若，一個常微分方程可以寫為

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x)=g(x)[h(f(x))]}$ 。

設定變數 ${\displaystyle y=f(x)}$ 。那麼，

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=g(x)h(y)}$ ．(1)

只要是 ${\displaystyle h(y)\neq 0}$ ，就可以將方程式兩邊都除以 ${\displaystyle h(y)}$ ，再都乘以 ${\displaystyle dx}$ ：

${\displaystyle {dy \over h(y)}={g(x)dx}}$ 。

這樣，可以將兩個變數 ${\displaystyle x}$ ，${\displaystyle y}$ 分離到方程式的兩邊。由於任何一邊的表達式跟另外一邊的變數無關，表達式恆等於常數 ${\displaystyle k}$ 。因此，可以得到兩個較易解的常微分方程；

${\displaystyle \int {dy \over h(y)}=\int {g(x)dx}=k}$ 。

第二種方法

有些不喜歡用萊布尼茨標記（英語：Leibniz's notation）的數學家，或許會選擇將公式 (1) 寫為

${\displaystyle {\frac {1}{h(y)}}{\frac {dy}{dx}}=g(x)}$ 。

這寫法有一個問題：無法比較明顯的解釋，為什麼這方法叫作分離變數法？

隨著 ${\displaystyle x}$ 積分公式的兩邊，可以得到

${\displaystyle \int {\frac {1}{h(y)}}{\frac {dy}{dx}}\,dx=\int g(x)\,dx}$ 。(2)

應用換元積分法，

${\displaystyle \int {\frac {1}{h(y)}}\,dy=\int g(x)\,dx}$ 。

假如，可以求算這兩個積分，則這常微分方程有解。這方法允許將導數 ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}$ 當做可分的分式看待，可以較方便的解析可分的常微分方程。這在實例 (II)的解析裏會有更詳細的解釋，

實例 (I)

常微分方程式 ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x)=f(x)(1-f(x))}$ 可以寫為

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=y(1-y)}$ ；(3)

其中，${\displaystyle y=f(x)}$ 。

設定 ${\displaystyle g(x)=1}$ ，${\displaystyle h(y)=y(1-y)}$ 。套用公式 (1) ，這常微分方程式是可分的。

進一步編排，則

${\displaystyle {\frac {dy}{y(1-y)}}=dx}$ 。

變數 ${\displaystyle x}$ ，${\displaystyle y}$ 分別在公式的兩邊。將兩邊積分，

${\displaystyle \int {\frac {dy}{y(1-y)}}=\int dx}$ 。

積分的結果是

${\displaystyle \ln |y|-\ln |1-y|=x+C}$ ；

其中，${\displaystyle C}$ 是個積分常數。稍加運算，則可得

${\displaystyle y={\frac {1}{1+Be^{-x}}}}$ 。

在這裏，檢查此解答的正確與否。計算導數 ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}$ 。答案應該與原本的問題相同。（必須仔細地計算絕對值。絕對符號內不同的正負值，分別地造成了 ${\displaystyle B}$ 的正值與負值。而當 ${\displaystyle y=1}$ 時，${\displaystyle B=0}$ ）。

特別注意，由於將公式 (3) 的兩邊除以 ${\displaystyle y}$ 跟 ${\displaystyle (1-y)}$ ，必須檢查兩個函數 ${\displaystyle y(x)=0}$ 與 ${\displaystyle y(x)=1}$ 是否也是常微分方程式的解答（在這個例子裏，它們都是解答）。參閱奇異解（英語：singular solution） 。

實例 (II)

人口數值的成長時常能夠用常微分方程來表達

${\displaystyle {\frac {dP}{dt}}=kP\left(1-{\frac {P}{K}}\right)}$ ；

其中，${\displaystyle P}$ 是人口數值函數，${\displaystyle t}$ 是時間參數， ${\displaystyle k}$ 是成長的速率，${\displaystyle K}$ 環境的容納能力。

將方程式的兩邊都除以${\displaystyle P\left(1-{\frac {P}{K}}\right)}$ ．再隨著時間 ${\displaystyle t}$ 積分，

${\displaystyle \int {\frac {1}{P\left(1-{\frac {P}{K}}\right)}}{\frac {dp}{dt}}\,dt=\int k\,dt}$ 。

應用換元積分法，

${\displaystyle \int {\frac {dP}{P\left(1-{\frac {P}{K}}\right)}}=\int k\,dt}$ 。

稍微運算，則可得

${\displaystyle P(t)={\frac {K}{1+Ae^{-kt}}}}$ ；

其中，${\displaystyle A}$ 是常數。

偏微分方程

主條目：可分離變數的偏微分方程

給予一個 ${\displaystyle n}$ 元函數 ${\displaystyle F(x_{1},\ x_{2},\ \dots ,\ x_{n})}$ 的偏微分方程，有時候，為了將問題的偏微分方程式改變為一組常微分方程，可以猜想一個解答；解答的形式為

${\displaystyle F=F_{1}(x_{1})F_{2}(x_{2})\cdots F_{n}(x_{n})}$ ，

或者

${\displaystyle F=f_{1}(x_{1})+f_{2}(x_{2})+\cdots +f_{n}(x_{n})}$ 。

時常，對於每一個自變量 ${\displaystyle x_{i}}$ ，都會伴隨著一個分離常數。如果，這個方法成功，則稱這偏微分方程為可分偏微分方程 (separable partial differential equation)。

實例 (III)

假若，函數 ${\displaystyle F(x,\ y,\ z)}$ 的偏微分方程為

${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}+{\frac {\partial F}{\partial z}}=0}$ 。

猜想解答為

${\displaystyle F(x,y,z)=X(x)+Y(y)+Z(z)}$ 。

那麼，

${\displaystyle {\frac {dX}{dx}}+{\frac {dY}{dy}}+{\frac {dZ}{dz}}=0}$ 。

因為 ${\displaystyle X(x)}$ 只含有 ${\displaystyle x}$ 、${\displaystyle Y(y)}$ 只含有 ${\displaystyle y}$ 、${\displaystyle Z(z)}$ 只含有 ${\displaystyle z}$ ，這三個函數的導數都分別必須等於常數。更明確地說，將一個偏微分方程改變為三個很簡單的常微分方程：

${\displaystyle {\frac {dX}{dx}}=c_{1}}$ 、

${\displaystyle {\frac {dY}{dy}}=c_{2}}$ 、

${\displaystyle {\frac {dZ}{dz}}=c_{3}}$ ；

其中，${\displaystyle c_{1},\ c_{2},\ c_{3}}$ 都是常數，${\displaystyle c_{1}+c_{2}+c_{3}=0}$ 。

偏微分方程的答案為

${\displaystyle F(x,y,z)=c_{1}x+c_{2}y+c_{3}z+c_{4}}$ ；

其中，${\displaystyle c_{4}}$ 是常數。

實例 (IV)

思考一個典型的偏微分方程，

${\displaystyle \nabla ^{2}v+\lambda v={\partial ^{2}v \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}v \over \partial y^{2}}+\lambda v=0}$ 。

首先，猜想答案的形式為

${\displaystyle v=X(x)Y(y)}$ 。

代入偏微分方程，

${\displaystyle {\partial ^{2} \over \partial x^{2}}[X(x)Y(y)]+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}[X(x)Y(y)]+\lambda X(x)Y(y)=0}$ 。

或者，用單撇號標記，

${\displaystyle X''(x)Y(y)+X(x)Y''(y)+\lambda X(x)Y(y)=0}$ 。

將方程式的兩邊除以 ${\displaystyle X(x)Y(y)}$ ，則可得

${\displaystyle {X''(x) \over X(x)}=-{Y''(y)+\lambda Y(y) \over Y(y)}}$ 。

由於任何一邊的表達式跟另外一邊的變數無關，表達式恆等於常數 ${\displaystyle k}$ ：

${\displaystyle {X''(x) \over X(x)}=k=-{Y''(y)+\lambda Y(y) \over Y(y)}}$ 。

因此，可以得到兩個新的常微分方程式：

${\displaystyle X''(x)-kX(x)=0}$ 、

${\displaystyle Y''(y)+(\lambda +k)Y(y)=0}$ 。

這兩個常微分方程式都是齊次的二階線性微分方程。假若，${\displaystyle k<0<\lambda +k}$ ，則這兩個常微分方程都是用來表達諧振問題的方程式。解答為

${\displaystyle X(x)=A_{x}\cos({\sqrt {-k}}\ x+B_{x})}$ ，

${\displaystyle Y(y)=A_{y}\cos({\sqrt {\lambda +k}}\ y+B_{y})}$ ；

其中，${\displaystyle A_{x},\ A_{y}}$ 是振幅常數，${\displaystyle B_{x},\ B_{y}}$ 是相位常數。這些常數可以由邊界條件求得。

參閱

• 拉普拉斯-龍格-冷次向量
• 哈密頓-雅可比方程
• 亥姆霍茲方程

參考文獻

• A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9。