- 加法是一可交換的運算(兩個數不論順序為何,它加起來的總和都一樣)。
- 減法是加法的逆運算。
- 減去一個數和加上一個此數的負數是一樣意思的:
![{\displaystyle a-b=a+(-b)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f03e1ad2ad4d5dbbd763ad4c40a0d7bf250cd208)
- 例如:若
,則
。
- 乘法是一可交換的運算。
- 除法是乘法的逆運算。
- 除去一個數和乘上一個此數的倒數是一樣意思的:
![{\displaystyle {a \over b}=a\cdot {1 \over b}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fe159e318c308e6769bd5ec206c0208e7c7de46)
- 例如:若
,則
。
- 冪不是一可交換的運算。
- 但冪卻有兩個逆運算:對數 和 開方(如平方根)。
- 例如:若
,則
。
- 例如:若
,則
,即
,
。
- 負數的平方根不存在於實數內。(參考:複數)
- 加法的結合律性質:
。
- 乘法的結合律性質:
。
- 對應加法的乘法分配律性質:
。
- 對應乘法的冪分配律性質:
。
- 冪的乘法:
。
- 冪的冪:
。
(等於的自反性)。
- 若
,則
(等於的對稱性)。
- 若
且
,則
(等於的遞移律)。
- 若
,則
。
- 若
且
,則
。
- 若
,則對任一 c,
(等於的可加性)。
- 若
且
,則
=
。
- 若
,則對任一 c,
(等於的可乘性)。
- 若兩個符號相等,則一個總是能替換另一個(替換原理)。
- 若
且
,則
(不等式的遞移律)。
- 若
,則對任一 c,
。
- 若
且
,則
。
- 若
且
,則
。
最簡單的方程為一元一次方程,它們是含有一個常數和一沒有冪的變數。例如:
![{\displaystyle 2x+4=12.\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/430b91b53091b5e3f9e77526f6eff73075550357)
其中心解法為在等式的兩邊同時以相同數字做加、減、乘、除,以使變數單獨留在等式的一側。一旦變數獨立了,等式的另一邊即是此變數的值。例如,將上面式子兩邊同時減去4:
,
簡化後即為
![{\displaystyle 2x=8.\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27d4a226d8d0f34b0510f9bc59c6a6e481da171a)
再同時除以2:
![{\displaystyle {\frac {2x}{2}}={\frac {8}{2}}\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c803f923e40f225580049943d071d023f0091c3f)
再簡化後即為答案:
![{\displaystyle x=4.\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56ba891acef28daed63d48796f1f872d6752f839)
一般的情形
![{\displaystyle ax+b=c}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08bf93625b100c9a4838fb52ddb9e65acfdb1234)
也可以依同樣的方式得出答案來:
![{\displaystyle x={\frac {c-b}{a}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae8f1e0d24f24022000a106a0088ca9e9e6db538)
【這就是一元一次方程簡單的說明】
在線性方程組內,如兩個變數的方程組內有兩個方程式的話,通常可以找出可同時滿足兩個方程式的兩個變數。
下面為線性方程組的一個例子,有兩個求解的方法:
![{\displaystyle 4x+2y=14\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d1c1a2de1b9c8a2a44c20531860fd5c80f97390)
![{\displaystyle 2x-y=1.\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ae159a28a6acef080944435aa2ac31618bfec5)
另一種求解的方法為替代。
![{\displaystyle {\begin{cases}4x+2y=14\\2x-y=1.\end{cases}}\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31ca6c12b4bc80c0e9e9b497fb136f045f0be475)
的等值可以由兩個方程式中的其中一種推出。我們使用第二個方程:
![{\displaystyle 2x-y=1\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/904182e91c5cd2b2fd9de6c456b5f195671f15ce)
由方程的兩邊減去
:
![{\displaystyle 2x-2x-y=1-2x\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f18c3ec1ce28fdc4b38f6efb8c67f1764dff3dd)
![{\displaystyle -y=1-2x\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7096046c4ceaa071e8d8cdfb8fb573042d4483d9)
再乘上 -1:
![{\displaystyle y=2x-1.\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a09a56386a6edfa099093c34a6a98d032a77653)
將此
值放入原方程組的第一個方程式:
![{\displaystyle 4x+2(2x-1)=14\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d40184db1f038b14f33ccaec8656c9a90e76979)
![{\displaystyle 4x+4x-2=14\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02de152790e8cb2b24ea8c694622ab7a073a704f)
![{\displaystyle 8x-2=14\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26d72dd4cb746582240cba479b6c433c98e85f41)
在方程的兩端加上 2:
![{\displaystyle 8x-2+2=14+2\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1912710d52b397b8c5ed33ab4a4c592912dc203)
![{\displaystyle 8x=16\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f8b5dcca4c7d0a5bfa516d8e865a35cdc5a2c96)
此可簡化成
。
將此值代回兩個方程式中的一個,可求得和上一個方法所求得的相同解答。
![{\displaystyle {\begin{cases}x=2\\y=3.\end{cases}}\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6374cae9987d433efc60d4f85311a96d4e74ec96)
注意:這並不是解這類特殊情況的唯一方法;在這個方法裡也是一樣的,
也可以在
之前求得。
Mirsky, Lawrence (1990) An Introduction to Linear Algebra Library of Congress. p.72-3. ISBN 0-486-66434-1.