相等

在數學的領域中，若兩個數學對象在各個方面都相同，則稱他們是相等的。這就定義了一個二元謂詞等於，寫作「${\displaystyle =}$」；${\displaystyle x=y}$當且僅當${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$相等。通常意義上，等於是通過兩個元素間的等價關係來構造的。將兩個表達式用等於符號連起來，就構成了等式，例如${\displaystyle 6-2=4}$，即${\displaystyle 6-2}$與${\displaystyle 4}$是相等的。

注意，有些時候「${\displaystyle A=B}$」並不表示等式。例如，${\displaystyle T(n)=O(n^{2})}$表示在數量級${\displaystyle n^{2}}$上漸進。因為這裡的符號「${\displaystyle =}$」不滿足若且唯若的定義，所以它不等於等於符號；實際上，${\displaystyle O(n^{2})=T(n)}$是沒有意義的。請參見大O符號了解這部分內容。

等價二元關係的表格

集合${\displaystyle A}$上的等於關係是種二元關係，滿足自反性，對稱性，反對稱性和傳遞性。 實際上，這是${\displaystyle A}$ 上唯一滿足所有這些性質的關係。 去掉對反對稱性的要求，就是等價關係。 相應的，給定任意等價關係${\displaystyle R}$，可以構造商集${\displaystyle A/R}$，並且這個等價關係將『下降為』${\displaystyle A/R}$上的等於。

在任何條件下都成立的等式稱為恆等式，包含未知數的等式稱為方程式。

邏輯形式

謂詞邏輯含有標準的關於相等的公理來形式化萊布尼茨律。萊布尼茨律是由哲學家萊布尼茨在17世紀提出來的。 萊布尼茨的想法是，兩樣物體是同一的，當且僅當它們有完全相同的性質。 形式化這一說法，可以寫成

對任意${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$，${\displaystyle x=y}$當且僅當對任意謂詞${\displaystyle P}$ ，${\displaystyle P(x)}$當且僅當${\displaystyle P(y)}$。

然而，在一階邏輯中，不能對謂詞進行量化。因此，需要使用下述公理：

對任意${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$，若${\displaystyle x}$等於${\displaystyle y}$，則${\displaystyle P(x)}$當且僅當${\displaystyle P(y)}$。

這條公理對任意單變量的謂詞${\displaystyle P}$都有效，但只定義了萊布尼茨律的一個方向：若${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$相等，則它們具有相同的性質。 可以通過簡單的假設來定義萊布尼茨律的另一個方向：

對任意${\displaystyle x}$，${\displaystyle x}$等於${\displaystyle x}$。

則若${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$具有相同的性質，則特定的它們關於謂詞${\displaystyle P}$是相同的。這裡謂詞${\displaystyle P}$為：${\displaystyle P(z)}$當且僅當${\displaystyle x=z}$。 由於${\displaystyle P(x)}$成立，${\displaystyle P(y)}$必定也成立（相同的性質），所以${\displaystyle x=y}$（' '${\displaystyle P}$的變量為${\displaystyle y}$）.

等於的一些基本性質

替代性

參見：等量公理

對任意量${\displaystyle a}$和${\displaystyle b}$和任意表達式${\displaystyle F(x)}$，若${\displaystyle a=b}$，則${\displaystyle F(a)=F(b)}$（設等式兩邊都有意義）。 在一階邏輯中，不能量化像${\displaystyle F}$這樣的表達式（它可能是個函數謂詞）。 一些例子：

• 對任意實數${\displaystyle a,b,c}$，若${\displaystyle a=b}$，則${\displaystyle a+c=b+c}$（這裡${\displaystyle F(x)}$為${\displaystyle x+c}$）
• 對任意實數${\displaystyle a,b,c}$，若${\displaystyle a=b}$，則${\displaystyle a-c=b-c}$（這裡${\displaystyle F(x)}$為${\displaystyle x-c}$）
• 對任意實數${\displaystyle a,b,c}$，若${\displaystyle a=b}$，則${\displaystyle ac=bc}$（這裡${\displaystyle F(x)}$為${\displaystyle xc}$）
• 對任意實數${\displaystyle a,b,c}$，若${\displaystyle a=b}$且${\displaystyle c\neq 0}$，則${\displaystyle a/c=b/c}$（這裡${\displaystyle F(x)}$為${\displaystyle x/c}$）

自反性

對任意量${\displaystyle a}$，${\displaystyle a=a}$。

這個性質通常在數學證明中作為中間步驟。

對稱性

例子：如果${\displaystyle a=b}$，那麼${\displaystyle b=a}$

傳遞性

例子：如果${\displaystyle a=b}$，${\displaystyle b=c}$，那麼${\displaystyle a=c}$

實數或其他對象上的二元關係「約等於」，即使進行精確定義，也不具有傳遞性（即使看上去有，但許多小的差能夠疊加成非常大）。然而，在絕大多數情況下，等於具有傳遞性。

儘管對稱性和傳遞性通常看上去是基本性質，但它們能夠通過替代性和自反性證明得到。

符號的歷史

主條目：等號

「等於」符號或 「${\displaystyle =}$」被用來表示一些算術運算的結果，是由羅伯特·雷科德在1557年發明的。

由於覺得書寫文字過於麻煩，雷科德在他的作品 The Whetstone of Witte 中採用了這一符號。原因是符號中的兩條線一樣長，表明其連接的兩個量也相等。這一發明在威爾士的St Mary教堂有記錄。

約等於的符號是${\displaystyle \approx }$或≒，不等於的符號是${\displaystyle \neq }$。

參見

• 等號

外部連結

• 關係符號的早期使用（英文）