負數

負數（英文：Negative number），在數學上指小於0的實數，如−2、−3.2和−807.5，與正數相對。負數本身是一個不可數的無限集合。這個集合在數學上通常用粗體R⁻或${\displaystyle \mathbb {R} ^{-}}$來表示。負數與0統稱非正數。

各式各樣的數

基本

${\displaystyle \mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C} }$ 正數 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ 自然數 ${\displaystyle \mathbb {N} }$ 正整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}$ 小數 有限小數 無限小數 循環小數 有理數 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 代數數 ${\displaystyle \mathbb {A} }$ 實數 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 複數 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 高斯整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ 負數 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{-}}$ 整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 負整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{-}}$ 分數 單位分數 二進分數 規矩數 無理數 超越數 虛數 ${\displaystyle \mathbb {I} }$ 二次無理數 艾森斯坦整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$

延伸

二元數 四元數 ${\displaystyle \mathbb {H} }$ 八元數 ${\displaystyle \mathbb {O} }$ 十六元數 ${\displaystyle \mathbb {S} }$ 超實數 ${\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }$ 大實數 上超實數 雙曲複數 雙複數 複四元數 共四元數（英語：Dual quaternion） 超複數 超數 超現實數

其他

質數 ${\displaystyle \mathbb {P} }$ 可計算數 基數 阿列夫數 同餘 整數數列 公稱值 規矩數 可定義數 序數 超限數 p進數 數學常數 圓周率 ${\displaystyle \pi =3.14159265}$… 自然對數的底 ${\displaystyle e=2.718281828}$… 虛數單位 ${\displaystyle i={\sqrt {-{1}}}}$ 無限大 ${\displaystyle \infty }$

閱 論 編

負數的歷史

負整數可以被認為是自然數的擴展，使得等式${\displaystyle x-y=z}$對任意${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$都有意義。相對而言，其他數的集合都是從自然數通過逐步擴展得到的。

負數在表示小於 0 的值的時候非常有用。例如，在會計學上，它可以被用來表示負債，而且通常以紅色表示（若不帶負數符號則加上括號），所以又稱「赤字」。

自從漢代，中國數學家就已經了解負數和零的概念了。^[1] 公元1世紀的《九章算術》說「正負術曰：同名相除，異名相益，正無入負之，負無入正之。其異名相除，同名相益，正無入正之，負無入負之。」^[2]（這段話的大意是「減法：遇到同符號數字應相減其數值，遇到異符號數字應相加其數值，零減正數的差是負數，零減負數的差是正數。」）。以上文字裡的「無入」通常被數學歷史家認為是零的概念。

儘管中國古人首先發現並應用了負數，但卻並沒有從理性方面討論負數存在的意義和本質，這可能是文化習慣導致的。對負數精確的定義，和其根本屬性的討論，是由近代西方數學家首先完成的。^[3]

西方最早在數學上使用負數的文獻紀錄，是由古印度數學家婆羅摩笈多於公元628年完成的《婆羅摩歷算書（英語：Brāhmasphuṭasiddhānta）》。它的出現是為了表示負資產或債務。在很大程度上，歐洲數學家直到17世紀^{[來源請求]}才接受負數的概念。

符號函數

在實數上可以定義這樣一個函數${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)}$，它對正數取值為 1，負數取值為 −1，0 取值為 0。這個函數通常被稱為符號函數：

${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)=\left\{{\begin{matrix}-1&:x<0\\\;0&:x=0\\\;1&:x>0\end{matrix}}\right.}$

當${\displaystyle x}$不為 0 時，則有：

${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\frac {x}{|x|}}={\frac {|x|}{x}}={\frac {d{|x|}}{d{x}}}=2H(x)-1.}$

這裡，${\displaystyle \left\vert x\right\vert }$為${\displaystyle x}$的絕對值，${\displaystyle H(x)}$為單位階躍函數。請參見導數。

負數的四則運算

負數四則運算口訣

口訣	釋義
	加法	減法	乘法			除法
			被乘數	乘數	積	被除數	除數	商
正正得正	a + (+b) = a + b	－	正	正	正	正	正	正
正負得負	a + (−b) = a − b	－	正	負	負	正	負	負
負正得負	－	a − (+b) = a − b	負	正	負	負	正	負
負負得正	－	a − (−b) = a + b	負	負	正	負	負	正

負數四則運算口訣簡單版

兩個符號一樣	兩個符號不同
得正	得負

---

加法

加上一個負數相當於減去其相反數：

${\displaystyle 6+({\color {Violet}-3})=6-{\color {Orange}3}=3\,}$

${\displaystyle -2+({\color {Violet}-5})=-2-{\color {Orange}5}=-7\,}$

減法

一個較大的正數減去一個較小的正數將得到一個正數

一個較小的正數減去一個較大的正數將得到一個負數：

${\displaystyle 6-3=3\,}$

${\displaystyle 4-6=-2\,}$

${\displaystyle 0-5=-5\,}$

任意負數減去一個正數總得到一個負數：

${\displaystyle -6-3=-(6+3)=-9\,}$

減去一個負數相當於加上相應的正數：

${\displaystyle 5-(-2)=5+2=7\,}$

${\displaystyle (-6)-(-3)=-(6-3)=-3\,}$

乘法

一個負數和一個正數相乘得到一個負數：${\displaystyle (-2)\times 3=-6}$。這裡，乘法可以被看作是多次加法的重複：${\displaystyle (-2)\times 3=(-2)+(-2)+(-2)=-6}$。

兩個負數相乘得到一個正數：${\displaystyle (-3)\times (-4)=12}$。這裡，乘法不能再被看作是多次加法的重複了，而是為了使乘法滿足分配律：

${\displaystyle {\bigg [}3+(-3){\bigg ]}\times (-4)=3\times (-4)+(-3)\times (-4).\,}$

等式的左邊為${\displaystyle 0\times (-4)=0}$。等式的右邊為${\displaystyle -12+(-3)\times (-4)}$。為了使兩邊相等，必須要${\displaystyle (-3)\times (-4)=12}$。

除法

除法和乘法類似。若被除數和除數有不同的符號，結果是一個負數：

${\displaystyle \;8\;\div \;(-2)=-4\,}$

${\displaystyle (-10)\;\div \;2=-5\,}$

若被除數和除數有相同的符號（就算他們均為負），結果是一個正數：

${\displaystyle (-6)\;\div \;(-3)=6\;\div \;3=2\,}$

參見

• 實數
• 超實數（Hyperreal number）
• 超現實數（Surreal Numbers）
• 負整數
• 科學計數法

參考資料及註釋

1. Wáng, Qīngxiáng, Sangi o koeta otoko (The man who exceeded counting rods), Tokyo: Tōyō Shoten, 1999, ISBN 4-88595-226-3
2.  九章算術. 維基文庫. 中國 （中文）.
3. HPM通訊第二期. [2018-04-19]. （原始內容存檔於2020-01-29）.