一元二次方程

一元二次方程式是只含有一個未知數，並且未知數的最高次數是二次的多項式方程。

更多資訊：二次方程 § 一元二次方程

例如，${\displaystyle x^{2}-3x+2=2}$，${\displaystyle \left(3-2i\right)x^{2}+{\sqrt[{\pi }]{23-6i}}x-\sin 2=0}$，${\displaystyle t^{2}-3=0}$ 等都是一元二次方程。

一元二次方程式的一般形式是${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\left(a\neq 0\right)}$

其中，${\displaystyle ax^{2}}$是二次項，${\displaystyle bx}$是一次項，${\displaystyle c}$是常數項。${\displaystyle a\neq 0}$是一個重要條件，否則就不能保證該方程未知數的最高次數是二次。當然，在強調了是一元二次方程之後，${\displaystyle a\neq 0}$也可以省略不寫。另外，一元二次方程式有時會出現複數根。

歷史

古巴比倫留下的陶片顯示，在大約公元前2000年（2000 BC）古巴比倫的數學家就能解一元二次方程了。在大約公元前480年，中國人已經使用配方法求得了二次方程的正根。公元前300年左右，歐幾里得提出了一種更抽象的幾何方法求解二次方程。

7世紀印度的婆羅摩笈多（Brahmagupta）是第一位懂得用使用代數方程式且容許同時有正負根的數學家。

11世紀阿拉伯的花拉子密獨立地發展了一套公式以求方程的正數解。亞伯拉罕·巴希亞（亦以拉丁文名字薩瓦索達著稱）在他的著作Liber embadorum中，首次將完整的一元二次方程解法傳入歐洲。

據說施里德哈勒是最早給出二次方程的普適解法的數學家之一。但這一點在他的時代存在着爭議。這個求解規則是（引自婆什迦羅第二）：

在方程的兩邊同時乘以二次項未知數的係數的四倍；在方程的兩邊同時加上一次項未知數的係數的平方；然後在方程的兩邊同時開二次方根。

將其轉化為數學語言：解關於${\displaystyle x}$的方程 ${\displaystyle ax^{2}+bx=-c}$

在方程的兩邊同時乘以二次項未知數的係數的四倍，即^[1]${\displaystyle 4a}$，得　${\displaystyle 4a^{2}x^{2}+4abx=-4ac}$

在方程的兩邊同時加上一次項未知數的係數的平方，即${\displaystyle b^{2}}$，得　${\displaystyle 4a^{2}x^{2}+4abx+b^{2}=-4ac+b^{2}}$

然後在方程的兩邊同時開二次方根，得　${\displaystyle 2ax+b=\pm {\sqrt[{2}]{-4ac+b^{2}}}}$

解法

阿貝爾指出，任意一元二次方程都可以根據${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$、${\displaystyle c}$三個係數，通過初等代數運算來求解。求得的解也被稱為方程的根。

一般來說，一元二次方程有兩個根。

因式分解法

把一個關於 ${\displaystyle x}$ 一元二次方程變形成一般形式 ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ 後，如果 ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ 能夠較簡便地分解成兩個一次因式的乘積，則一般用因式分解來解這個一元二次方程。

將方程左邊分解成兩個一次因式的乘積後（一般可用十字相乘法），分別令每一個因式等於零，可以得到兩個一元一次方程。解這兩個一元一次方程，得到的兩個解都是原方程的解。

如果一元二次方程${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$存在兩個實根${\displaystyle x_{1},x_{2}}$，那麼它可以因式分解為${\displaystyle a(x-x_{1})(x-x_{2})=0}$。

例如，解一元二次方程${\displaystyle x^{2}-3x+2=0}$時，可將原方程左邊分解成${\displaystyle \left(x-1\right)\left(x-2\right)=0}$，所以${\displaystyle x-1=0\quad x-2=0}$，可解得${\displaystyle x_{1}=1\quad x_{2}=2}$

公式解法

對於${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\ (a\neq 0)}$，若${\displaystyle \Delta ={\sqrt {b^{2}-4ac\ }}>0}$，則它的兩個不等實數根可以表示為

${\displaystyle x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}},\,x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}}$；

若${\displaystyle \Delta ={\sqrt {b^{2}-4ac\ }}=0}$，則它的兩個相等實數根可以表示為

${\displaystyle x_{1}=x_{2}={\frac {-b}{2a}}}$；

若${\displaystyle \Delta ={\sqrt {b^{2}-4ac\ }}<0}$，則它的兩個共軛複數根可以表示為

${\displaystyle x_{1}=-{\frac {b}{2a}}+{\frac {\sqrt {-(b^{2}-4ac)}}{2a}}{\text{i}},\,\,x_{2}=-{\frac {b}{2a}}-{\frac {\sqrt {-(b^{2}-4ac)}}{2a}}{\text{i}}}$。

公式解的證明

公式解可以由配方法得出。

已知關於 ${\displaystyle x}$ 的一元二次方程 ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0,\,\,a\neq 0}$

①移項，得：

${\displaystyle ax^{2}+bx=-c}$；

②二次項係數化為 ${\displaystyle 1}$，得：

${\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x=-{\frac {c}{a}}}$；

③配方，得：

${\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\biggl (}{\frac {b}{2a}}{\biggl )}^{2}=-{\frac {c}{a}}+{\biggl (}{\frac {b}{2a}}{\biggl )}^{2}}$，

${\displaystyle {\biggl (}x+{\frac {b}{2a}}{\biggl )}^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}$；

因為 ${\displaystyle a\neq 0}$，所以

若${\displaystyle \Delta ={\sqrt {b^{2}-4ac\ }}>0}$，則它的兩個不等實數根可以表示為

${\displaystyle x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}},\,x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}}$；

若${\displaystyle \Delta ={\sqrt {b^{2}-4ac\ }}=0}$，則它的兩個相等實數根可以表示為

${\displaystyle x_{1}=x_{2}={\frac {-b}{2a}}}$；

若${\displaystyle \Delta ={\sqrt {b^{2}-4ac\ }}<0}$，則它的兩個共軛複數根可以表示為

${\displaystyle x_{1}=-{\frac {b}{2a}}+{\frac {\sqrt {-(b^{2}-4ac)}}{2a}}{\text{i}},\,\,x_{2}=-{\frac {b}{2a}}-{\frac {\sqrt {-(b^{2}-4ac)}}{2a}}{\text{i}}}$。

一般化

一元二次方程的求根公式在方程的係數為有理數、實數、複數或是任意數域中適用。

公式中的根式${\displaystyle {\sqrt {b^{2}-4ac}}}$

應該理解為「如果存在的話，兩個自乘後為${\displaystyle b^{2}-4ac}$的數當中任何一個」。在某些數域中，有些數值沒有平方根。

根的判別式

對於實係數一元二次方程${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\left(a\neq 0\right)}$，${\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac}$稱作一元二次方程根的判別式。根據判別式，一元二次方程的根有三種可能的情況：

• 如果${\displaystyle \Delta >0}$，則這個一元二次方程有兩個不等的實數根。如果係數都為有理數，且${\displaystyle \Delta }$是一個完全平方數，則這兩個根都是有理數，否則這兩個根至少有一個是無理數。

• 如果${\displaystyle \Delta =0}$，則這個一元二次方程有兩個相等的實數根。這兩個等根 ${\displaystyle x_{1}=x_{2}=-{\frac {b}{2a}}}$

• 如果${\displaystyle \Delta <0}$，則這個一元二次方程有兩個不等的複數根，兩根互為共軛複數。這時兩根分別為${\displaystyle x_{1}=-{\frac {b}{2a}}+{\frac {\sqrt {-(b^{2}-4ac)}}{2a}}{\text{i}},\,\,x_{2}=-{\frac {b}{2a}}-{\frac {\sqrt {-(b^{2}-4ac)}}{2a}}{\text{i}}}$，其中 ${\displaystyle {\text{i}}={\sqrt {-1}}}$。

非實係數一元二次方程

即係數為非實數時的一元二次方程，將係數擴展到複數域內，此時要注意根的判別式不適用於非實係數一元二次方程。

一元二次方程的根與係數的關係

根據韋達定理可以找出一元二次方程的根與係數的關係。$${\displaystyle x_{1}+x_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}+{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}={\frac {-2b}{2a}}=-{\frac {b}{a}}}$$$${\displaystyle x_{1}\cdot x_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}\cdot {\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}={\frac {b^{2}-b^{2}+4ac}{4a^{2}}}={\frac {4ac}{4a^{2}}}={\frac {c}{a}}}$$

圖像解法

${\displaystyle {\color {Red}{}\Delta >0}}$，則該函數與x軸相交（有兩個交點）
${\displaystyle {\color {Blue}{}\Delta =0}}$，則該函數與x軸相切（有且僅有一個交點）
${\displaystyle {\color {Green}{}\Delta <0}}$，則該函數與x軸相離（沒有交點）

一元二次方程${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$的根的幾何意義是二次函數${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$的圖像（為一條拋物線）與 ${\displaystyle x}$ 軸交點的坐標，即二次函數的零點。

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$的解是${\displaystyle y=x^{2}}$和${\displaystyle y=-{\begin{matrix}{\frac {b}{a}}x\end{matrix}}-{\begin{matrix}{\frac {c}{a}}\end{matrix}}}$交點的X座標

另外一種解法是把一元二次方程${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$化為${\displaystyle x^{2}=-{\frac {b}{a}}x-{\frac {c}{a}}}$ 的形式。

則方程${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$的根，就是函數${\displaystyle y=x^{2}}$和${\displaystyle y=-{\frac {b}{a}}x-{\frac {c}{a}}}$交點的橫坐標。

通過作圖，可以得到一元二次方程根的近似值。

計算機法

在使用計算機解一元二次方程時，跟人手工計算相似，大部分情況下也是根據以下公式去解$${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}}$$可以進行符號運算的程序，比如Mathematica，可以給出準確的解析表達式。而大部分程序則只會給出數值解。(但亦有部分顯示平方根及虛數)

參見

• 方程
• 三次方程
• 和平方
• 差平方
• 平方差
• 配方法

參考資料

1. Sridhara. www-gap.dcs.st-and.ac.uk. 2006-02-08 [2024-07-02]. （原始內容存檔於2006-02-08） （英語）.

外部連結

• 101 uses of a quadratic equation: Part I （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館），Part II （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）