零點

此條目頁的主題是數學上的一種定義。關於零點的其他含義，請見「零點 (消歧義)」。

提示：此條目頁的主題不是原點。

對全純函數${\displaystyle f}$，稱滿足${\displaystyle f(a)=0}$的複數${\displaystyle a}$為 ${\displaystyle f}$的零點（英語：Zero）。

零點的階

如果${\displaystyle f}$可以被寫成以下的形式：

${\displaystyle f(z)=(z-a)g(z)\,}$

那麼稱${\displaystyle a}$是${\displaystyle f}$的簡單零點，或稱${\displaystyle f}$的一階零點。 其中${\displaystyle a}$是一個複數，${\displaystyle g}$是全純函數，且${\displaystyle g(a)}$不為零。

一般地，如果能找到一個最大的正整數${\displaystyle n}$,使得下式成立：

${\displaystyle f(z)=(z-a)^{n}g(z)\ }$且${\displaystyle \ g(a)\neq 0.\,}$

那麼，稱${\displaystyle n}$為${\displaystyle f}$在${\displaystyle a}$處的零點的階，${\displaystyle a}$為函數${\displaystyle f}$的 ${\displaystyle n}$階零點。

零點的存在

代數基本定理說明，任何一個不是常數的複係數多項式在複平面內都至少有一個零點。這與實數的情況不一樣：有些實係數多項式沒有實數根。一個例子是${\displaystyle f(x)=x^{2}+1}$。

性質

不恆為0的全純函數的零點有一個重要的性質：零點都是孤立的。也就是說，對於不恆為0的全純函數的任何一個零點，都存在一個鄰域，在這個鄰域內沒有其它零點。

參見

• 根 (數學)
• 極點 (複分析)
• 赫爾維茨定理（英語：Hurwitz's theorem (complex analysis)）

參考文獻

• Conway, John. Functions of One Complex Variable I. Springer. 1986. ISBN 0-387-90328-3.
• Conway, John. Functions of One Complex Variable II. Springer. 1995. ISBN 0-387-94460-5.

外部連結

• 埃里克·韋斯坦因. Root. MathWorld.
• 零點和極點的教程