正三角形镶嵌

在几何学中，正三角形镶嵌、又称为正三角方格^[3]是一种正多边形在平面上的密铺，又称正镶嵌图。

正三角形镶嵌

类别	正镶嵌
对偶多面体	正六边形镶嵌
识别
鲍尔斯缩写 （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	trat
数学表示法
考克斯特符号 （英语：Coxeter-Dynkin diagram）	=
施莱夫利符号	{3,6} {3[3]}
威佐夫符号 （英语：Wythoff symbol）	6 | 3 2 3 | 3 3 | 3 3 3
康威表示法	dH
特殊面或截面
梵奥斯截面 （英语：Van_Oss_polygon）	无限边形[2]
组成与布局
顶点图	3.3.3.3.3.3（或36）
顶点布局 （英语：Vertex_configuration）	36
对称性
对称群	p6m, [6,3], (*632) p3m1, [3[3]], (*333) p3, [3[3]]+, (333)
旋转对称群 （英语：Rotation_groups）	p6, [6,3]+, (632) p3, [3[3]]+, (333)
图像
3.3.3.3.3.3（或36） （顶点图） 正六边形镶嵌 （对偶多面体）
查 论 编

命名

康威称正三角形镶嵌为deltille。deltille一词来自于外形为三角形的希腊字母 Delta （Δ），有时也称作六角化正六边形镶嵌。

性质

由于正三角形镶嵌是由正三角形组成，又因正三角形内角为60度，因此每个顶点周围都有6个三角形，且刚好占满360度。

正三角形镶嵌在施莱夫利符号中，用{3,6}表示。

正三角形镶嵌是三个的平面正镶嵌图之一。另外两个是正方形镶嵌和正六边形镶嵌。

一般将画在纸上的正三角方格称作正三角格纸^[3]，正三角格纸是用来画三维立体图或三维透视图用的。使用正三角格纸作图会比较容易做出三维立体图或三维透视图，而且图形看起来比较接近三维^[3]。

上色的正三角形镶嵌

正三角形镶嵌有九种不同的上色方式，他们依顶点周为颜色数来命名： 111111, 111112, 111212, 111213, 111222, 112122, 121212, 121213, 121314。

上色 索引	111111	121212	121314	121213
图示	1 1 1 1 1 1	1 2 1 2 1 2	1 3 1 4 1 2	1 2 1 3 1 2
上色
对称群	*632 (p6m) [6,3]	*333 (p3m1) [3[3]] = [1+,6,3]	333 (p3) [3[3]]+	3*3 (p31m) [6,3+]
Wythoff符号（英语：Wythoff symbol）	6 | 3 2	3 | 3 3	| 3 3 3
考克斯特符号（英语：Coxeter-Dynkin Diagram）		=

A2晶格和圆堆砌

正三角形镶嵌的顶点排布被称作A₂晶格^[4]。正三角形镶嵌是单纯形堆砌（英语：Simplectic honeycomb）家族的二维成员。

A₂^*晶格（又称A₂³），可由所有3种A₂晶格组合得来，就等价于A₂晶格。

+ + = 的对偶 =

以正三角形镶嵌的顶点为圆心，我们可以得到二维的最密圆堆砌（英语：Circle Packing），每个圆都与6个相邻圆接触（接触数（英语：kissing number）），堆砌密度为${\displaystyle {\frac {\pi }{\sqrt {12}}}}$或90.69%。由于3个A₂晶格组合还是A₂晶格，这种圆堆砌种的圆可被涂成三种颜色。

A₂晶格的沃罗诺伊图是正六边形镶嵌，它也是正三角形镶嵌的对偶。因此，正六边形镶嵌也与最密圆堆砌有直接的对应关系。

A2晶格圆堆砌	A* 2晶格圆堆砌
正六边形镶嵌

相关半正镶嵌

正三角形镶嵌家族的半正镶嵌

对称性: [6,3], (*632)							[6,3]+, (632)	[1+,6,3], (*333)	[6,3+], (3*3)
{6,3}	t0,1{6,3}	t1{6,3}	t1,2{6,3}	t2{6,3}	t0,2{6,3}	t0,1,2{6,3}	s{6,3}	h{6,3}	h1,2{6,3}
半正对偶
V6.6.6	V3.12.12	V3.6.3.6	V6.6.6	V3.3.3.3.3.3	V3.4.12.4	V.4.6.12	V3.3.3.3.6	V3.3.3.3.3.3

从六边形镶嵌可利用“交错”操作将六边形镶嵌变成三角形镶嵌。

交错2n边形镶嵌系列：

	球面镶嵌	多面体	欧式镶嵌	紧凑双曲镶嵌				仿紧空间	非紧空间
n	1	2	3	4	5	6		∞
2n边形镶嵌	{2,3}	{4,3}	{6,3}	{8,3}	{10,3}	{12,3}		{∞,3}	{iπ/λ,3}
交错2n边形镶嵌	h{2,3}	h{4,3}	h{6,3}	h{8,3}	h{10,3}	h{12,3}	...	h{∞,3}	h{iπ/λ,3}

相关

• 格子

参考文献

1. Coxeter, H.S.M., Regular Complex Polytopes, Cambridge University Press, 1991, ISBN 0-521-39490-2
2. Coxeter, Complex Regular polytopes,^[1] p.141
3. 《图解数学辞典》天下远见出版 P.50 ISBN 986-417-614-5
4. 存档副本. [2014-01-26]. （原始内容存档于2021-02-25）.

阅读

• Coxeter, H.S.M. Regular Polytopes, (3rd edition, 1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8 p. 296, Table II: Regular honeycombs
• Grünbaum, Branko ; and Shephard, G. C. Tilings and Patterns. New York: W. H. Freeman. 1987. ISBN 0-7167-1193-1. (Chapter 2.1: Regular and uniform tilings, p. 58-65)
• 埃里克·韦斯坦因. Triangular Grid. MathWorld.
  • 埃里克·韦斯坦因. Regular tessellation. MathWorld.
  • 埃里克·韦斯坦因. Uniform tessellation. MathWorld.
• Klitzing, Richard. 2D Euclidean tilings x3o6o - trat - O2. bendwavy.org.
• Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979. ISBN 0-486-23729-X. p35
• John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, The Symmetries of Things 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 [1]
• Tilings and Patterns, from list of 107 isohedral tilings, p.473-481