三阶无限边形镶嵌

在几何学中，三阶无限边形镶嵌是一种双曲面的正镶嵌，由无限边形组成，在施莱夫利符号中用{∞, 3}表示，即每个顶点周为皆有三个无限边形，顶点图可计为∞.∞.∞或∞³。每个无限边形都内接在极限圆上。

三阶无限边形镶嵌

庞加莱圆盘模型
类别	双曲正镶嵌
对偶多面体	无限阶三角形镶嵌
识别
鲍尔斯缩写 （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	azat
数学表示法
考克斯特符号 （英语：Coxeter-Dynkin diagram）
施莱夫利符号	{∞,3} t{∞,∞} tr(∞,∞,∞)
威佐夫符号 （英语：Wythoff symbol）	3 | ∞ 2 2 ∞ | ∞ ∞ ∞ ∞ |
组成与布局
顶点图	∞.∞.∞
对称性
对称群	[∞,3], (*∞32) [∞,∞], (*∞∞2) [(∞,∞,∞)], (*∞∞∞)
特性
点可递、 边可递、 面可递
图像
无限阶三角形镶嵌 （对偶多面体）
查 论 编

三阶无限边形镶嵌无法在平面上构造，因为二个无限边形就已经完全密铺平面了，即所谓的二阶无限边形镶嵌，另一个原因是正无限边形的内角为180度，三个正无限边形内角为540度，因此无法构造于平面上，但可以在一个双曲抛物面上构造^[1]，另外亦有四阶无限边形镶嵌和五阶无限边形镶嵌等双曲面几何体。

图片

每个正无限边形面都内接在一个半径为无限大的罗氏圆，即极限圆，它看起来像是一个内切于庞加莱圆盘模型投影边界的圆。

表面涂色

就如同三阶六边形镶嵌，每一个三阶无限边形镶嵌都有三种半正表面涂色，皆属于不同的反射三角群域：

正图形	截角		大斜方截半
{∞,3}	t0,1{∞,∞}	t1,2{∞,∞}	t0,1,2{(∞,∞,∞)}
双曲三角群
[∞,3]	[∞,∞]		[(∞,∞,∞)]

更多边数

即使无限边形的边数已经是最多的了，但仍可以利用伪多边形群构造更多边数的图形，即边数使用虚数表示其所包含的边数量比无限大还要多。他们的对偶为超无限阶三角形镶嵌，其阶数也是以iπ/λ表示，代表其阶数比无限大还要多，同样属于非紧凑的双曲镶嵌，并且有无穷多种组合（整个虚数集）。

虽然是变为“超无限边形”，但其实际上是变为角度大于180度角，表示其图形的中心超过无穷远处，即图形不封闭了，也表示三阶超无限边形镶嵌中的超无限边形并不存在实质的中心点(对偶的超无限阶顶点并不存在)，如同二阶超无限边形镶嵌中，超无限边形的中心因退化而不存在的情形，此超无限边形也是类似的情形。但由于镶嵌中的多阶顶点的角度必须是小于180度角，因此严格来说，那些超无限边形的中心点并不存在。

这些边数为复的超无限边形镶嵌由于其形成了不闭合且不是有界的的空间，因此不属于紧空间。

复边数的超无限边形镶嵌也构成了一个无穷系列，从i、2i一直到虚无穷。也因此三阶超无限边形镶嵌也可使视为两个系列的极限。

三阶无限边形和超无限边形镶嵌

类别	仿紧凑双曲镶嵌		非紧凑双曲镶嵌
边数	无限	∞i	...	12i	11i
图像			...
顶点布局	∞3	∞i3	...	12i3	11i3
类别	非紧凑双曲镶嵌
边数	10i	9i	8i	7i	6i
图像
顶点布局	10i3	9i3	8i3	7i3	6i3
类别	非紧凑双曲镶嵌
边数	5i	4i	3i	2i	i
图像
顶点布局	5i3	4i3	3i3	2i3	i3

参见

参考文献

1. Arlan Ramsay, Robert D. Richtmyer, Introduction to Hyperbolic Geometry, Springer; 1 edition (December 16, 1995)

• John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, The Symmetries of Things 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 19, The Hyperbolic Archimedean Tessellations)
• Chapter 10: Regular honeycombs in hyperbolic space. The Beauty of Geometry: Twelve Essays. Dover Publications. 1999. ISBN 0-486-40919-8. LCCN 99035678.

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. Hyperbolic tiling. MathWorld.
• 埃里克·韦斯坦因. Poincaré hyperbolic disk. MathWorld.