正三角形

正三角形，又称等边三角形（英语：equilateral triangle）是指一种三个边均等长的三角形，是锐角三角形的一种，其三个角大小相等、均为60度^[1]。

正三角形
一个正三边形
类型	正多边形
对偶	正三边形（本身）
边	3
顶点	3
对角线	0
施莱夫利符号	{3}
考克斯特符号（英语：Coxeter–Dynkin diagram）
鲍尔斯缩写 （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	equit
对称群	二面体群 (D3), order 2×3
面积	${\displaystyle {\frac {3}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{3}}}$ ${\displaystyle \approx 0.433012701892a^{2}}$
内角（度）	60°
内角和	180°
特性	凸、圆内接多边形、等边多边形、等角多边形、等边图形
查 论 编

性质

假设正三角形的边长为${\displaystyle a\,\!}$，则可推得以下的性质：

• 周长${\displaystyle p=3a\,\!}$
• 高${\displaystyle h={\frac {\sqrt {3}}{2}}a}$
• 面积${\displaystyle A={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}}$
• 外接圆的半径${\displaystyle R={\frac {\sqrt {3}}{3}}a}$
• 内切圆的半径${\displaystyle r={\frac {\sqrt {3}}{6}}a}$

以上公式可由勾股弦定理推导而得。

正三角形的垂足和其底边的中点共点，因此正三角形的高也是其底边的中垂线及中线，高也会将顶点所的在的角平分。因此正三角形的高也是其中线、中垂线及角平分线，而正三角形的内心、外心、重心及垂心均共点，在其中线上，距顶点${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}a}$的位置。

正三角形是对称度最高的三角形，有三个镜射对称，及绕重心360/3度的整数倍的旋转对称，其对称群为二面体群D₃。

正四面体由四个正三角形所组成。

在许多几何结构中都看得到正三角形，例如三个大小相等、两两相切的圆，其三个圆的圆心可组成一正三角形。正多面体中，正四面体、正八面体及正二十面体都是由正三角形所组成的。其中正四面体的四个面均为正三角形，可视为正三角形在三维空间的类比。

正三角形可用在正镶嵌图（即用同一个正多边形填满一个平面）中，另外二种可用在正镶嵌图的正多边形为正方形及正六边形。

莫雷角三分线定理是说明任意三角形相邻内角靠近共同边的角三等分线的三个交点，可以组成一个正三角形。

正三角形的内切圆半径是外接圆半径的一半。

正三角形内部一点到三顶点的距离分别为${\displaystyle a,b,c}$，且正三角形边长为${\displaystyle x}$，则${\displaystyle a,b,c,x}$的关系式为${\displaystyle (a^{2}+b^{2}+c^{2}+x^{2})^{2}=3(a^{4}+b^{4}+c^{4}+x^{4})}$。

判断

1. 三边相等的三角形是等边三角形。
2. 三个内角都相等的三角形是等边三角形。
3. 有一个内角是60度的等腰三角形是等边三角形。
4. 两个内角为60度的三角形是等边三角形。

作图法

作图法

用直尺及圆规画出正三角形

可以利用尺规作图的方式画出正三角形，其作法相当简单： 先用尺画出一条任意长度的线段，再分别以线段二端点为圆心、线段为半径画圆，二圆会交于二点，任选一点，和原来线段的两个端点画线，则这二条线和原来线段即构成一正三角形。

文化和社会上的含意

正三角形常在许多结构、符号及标示中出现：

• 塞尔维亚的莱潘斯基维尔（Lepenski Vir）遗迹中，以正三角形为其结构的一部份。
• 菲律宾总统的徽章中有正三角形。
• 保龄球的十个球瓶排列成正三角形的形状。
• 绝大部分的阶级都以正三角形为架构，以突显其主次关系。

接近正三角形的海伦三角形

海伦三角形是各边、面积及内切圆半径均为有理数的三角形。因正三角形当边长为有理数时，其面积为无理数，因此不存在满足海伦三角形条件的正三角形。不过有一些海伦三角形其三边边长为${\displaystyle n-1}$, ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle n+1}$，算是很接近正三角形的海伦三角形，以下是这一类三角形边长的列表：

边长			面积	内切圆半径
${\displaystyle n-1}$	${\displaystyle n}$	${\displaystyle n+1}$
3	4	5	6	1
13	14	15	84	4
51	52	53	1170	15
193	194	195	16296	56
723	724	725	226974	209

表中的${\displaystyle n}$有一个特性：将某一个${\displaystyle n}$乘以4，再减去较小三角形的${\displaystyle n}$，就是下一个三角形的边长${\displaystyle n}$（${\displaystyle 52=4\times 14-4}$, ${\displaystyle 194=4\times 52-14}$，以此类推），可以用以下的例子表示：

${\displaystyle q_{n}=4q_{n-1}-q_{n-2}.\,\!}$

此数列（数列OEIS:A003500）也可以用佩尔方程${\displaystyle x^{2}-3y^{2}=1}$的解求得，也和${\displaystyle {\sqrt {3}}}$的连分数有关。^[2]

参考资料

1. Equilateral Triangle. mathworld. [2009-07-21]. （原始内容存档于2021-02-07）.
2. Takeaki Murasaki (2004), On the Heronian Triple（n+1, n, n−1） 互联网档案馆的存档，存档日期2009-06-08., Sci. Rep. Fac. Educ., Gunma Univ. 52, 9-15.

参见

• 三角学
• 维维亚尼定理
• 莫雷角三分线定理