数学上,数域F上的n阶正交群,记作O(n,F),是F上的n×n 正交矩阵在矩阵乘法下构成的群。它是一般线性群GL(n,F)的子群,由
给出。
Quick Facts 群论, 基本概念 ...
群论
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群
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无限维群
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共形群 微分同胚群
环路群
量子群 O(∞) SU(∞) Sp(∞)
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这里QT是Q的转置。实数域上的经典正交群通常就记为O(n)。
更一般地,F上一个非奇异二次型的正交群是保持二次型不变的矩阵构成的群。嘉当-迪奥多内定理描述了这个正交群的结构。
每个正交矩阵的行列式为1或−1。行列式为1的n×n正交矩阵组成一个O(n,F)的正规子群,称为特殊正交群SO(n,F)。如果F的特征为2,那么1 = −1,从而O(n,F)和SO(n,F)相等;其他情形SO(n,F)在O(n,F)中的指数是2。特征2且偶数维时,很多作者用另一种定义,定义SO(n,F)为迪克森不变量的核,这样它在O(n,F)中总有指数2。
O(n,F)和SO(n,F)都是代数群,因为如果一个矩阵是正交的条件,即转置等于逆矩阵,能够定义成一些关于矩阵分量的多项式方程。
实数域上的正交群
实数域R上的正交群O(n,R)和特殊正交群SO(n,R)在不会引起误会时经常记为O(n)和SO(n)。他们是n(n-1)/2 维实紧李群。O(n,R)有两个连通分支,SO(n,R)是单位分支,即包含单位矩阵的连通分支。
实正交群和特殊正交群有如下的解释:
O(n,R)是欧几里得群E(n)的子群,E(n)是Rn的等距群;O(n,R)由其中保持原点不动等距组成。它是以原点为中心的球面 (n = 3)、超球面和所有球面对称的对象的对称群。
SO(n,R)是E+(n)的子群,E+(n)是“直接”等距,即保持定向的等距;SO(n,R)由其中保持原点不动的等距组成。它是以原点为中心的球面和所有球面对称对象的旋转群。
{ I, −I }是O(n,R)的正规子群并是特征子群;如果n是偶数,对SO(n,R)也对。如果n是奇数,O(n,R)是SO(n,R)和{ I, −I }的直积。k重旋转循环群Ck对任何正整数k都是O(2,R)和SO(2,R)的正规子群。
取合适的正交基,等距是
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}R_{1}&&\\&\ddots &\\&&R_{k}\end{matrix}}&0\\0&{\begin{matrix}\pm 1&&\\&\ddots &\\&&\pm 1\end{matrix}}\\\end{bmatrix}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8b24f6c0d2794d360173a4068d442cd9eab0551)
的形式。这里矩阵R1,...,Rk是2×2旋转矩阵。
圆的对称群是O(2,R),也称为Dih(S1),这里S1是模长1复数的乘法群。
SO(2,R) (作为李群)同构于圆S1(圆群)。这个同构将复数exp(φi) = cos(φ) + i sin(φ)映到正交矩阵
。
群SO(3,R),视为3维空间的旋转,是科学和工程中最重要的群。参见旋转群和3×3旋转矩阵利用轴和角的一般公式
在代数拓扑方面,对n > 2,SO(n,R)的基本群是2阶循环,而自旋群Spin(n)是其万有覆叠。对n = 2基本群是无限循环而万有覆叠对应于实数轴(旋量群Spin(2)是惟一的2重复叠)
李群O(n,R)和SO(n,R的李代数由斜对称实n×n矩阵组成,李括号由交换子给出。这个李代数经常记为 o(n,R)或so(n,R)。
保持原点的3维同构
保持R3原点不动的同构,组成群O(3,R),能分成如下几类:
- SO(3,R):
- 恒同
- 绕一个过原点的轴转动不等于180°
- 绕一个过原点的轴转动180°
- 以上与关于原点的点反演(x映到−x)复合,分别为:
- 关于原点的点反演
- 绕一轴旋转一个不等于180°的角度,与关于过垂直于轴且过原点的平面的反射的复合
- 关于一个过原点的平面的反射
特别地指出4阶和5阶正交群,在更宽泛的意义下6阶也是,称为反射旋转。类似的参见欧几里得群。
共形群
主条目:共形群
作为保持距离的同构,正交变换也保角,从而是共形变换,但是不是所有的共形变换都是正交变换。Rn的线性共形映射构成的群记作CO(n),由正交群和收缩的乘积给出。如果n是奇数,两个子群不相交,他们是直积:
;如果n是偶数,两个子群的交是
,所以这不是直积,但这是和正收缩子群的直积:
。
我们可以类似地定义CSO(n),这时总有
。
复数域上正交群
复数域C上,O(n,C)和SO(n,C)是C上n(n-1)/2维的李群,这意味着实维数是n(n-1)。O(n,C)有两个连通分支,SO(n,C)是包含恒同矩阵的分支。当n ≥ 2时,这些群非紧。
和实情形一样,SO(n,C)不是单连通的,对n > 2 SO(n,C)的基本群是2阶循环群,而SO(2,C)的基本群是无穷循环群。
O(n,C)和SO(n,C)的复李代数由斜对称复n×n矩阵组成,李括号由交换子给出。
拓扑
低维数
低维实正交群是熟悉的空间:
![{\displaystyle {\begin{aligned}O(1)&=\left\{\pm 1\right\}=S^{0}\\SO(1)&=\left\{1\right\}=*\\SO(2)&=S^{1}\\SO(3)&=\mathbf {RP} ^{3}\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac39b51dedffdfa93c6f87e8b8d00022d3be53bb)
由于三维旋转在工程中有重要应用,产生了很多SO(3)上的卡。
同伦群
正交群的同伦群和球面的同伦群密切相关,从而一般是很难计算的。
但是我们可以计算出稳定正交群的同伦群(也称为有限正交群),定义为包含序列
![{\displaystyle O(0)\subset O(1)\subset O(2)\subset \cdots \subset O=\bigcup _{k=0}^{\infty }O(k)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b43a8ef8033123c8b78bf74d6b6697168cd64175)
的正向极限(因为包含都是闭包含,从而是上纤维化,也能理解成并)。
是
的齐性空间,从而有如下纤维丛:
![{\displaystyle O(n)\to O(n+1)\to S^{n},}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd9e9832a3eaa5d39dafa938397cbd236099da99)
可以理解为:正交群
传递地作用于单位球面
上,一点(看作一个单位向量)的稳定子群是其正交补的正交群,这是第一维的正交群。映射
是自然包含。
从而包含
是(n-1) -连通的,故同伦群稳定,对
有
,所以稳定空间的同伦群等于非稳定空间的低维同伦群。
通过博特周期性定理,
,从而O的同伦群以8为周期,即
,这样我们只要计算出最低8个同伦群就算出了所有群。
![{\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{0}O&=\mathbf {Z} /2\\\pi _{1}O&=\mathbf {Z} /2\\\pi _{2}O&=0\\\pi _{3}O&=\mathbf {Z} \\\pi _{4}O&=0\\\pi _{5}O&=0\\\pi _{6}O&=0\\\pi _{7}O&=\mathbf {Z} \\\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/920812ed31319011d93fb8c74bfe5d035c8dc76f)
和KO-理论的关系
通过cluching construction,稳定空间O的同伦群和稳定球面上的向量丛等价(同构的意义下),提高一个维数:
。
设
(使得
满足周期性),我们得到:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{0}KO&=\mathbf {Z} \\\pi _{1}KO&=\mathbf {Z} /2\\\pi _{2}KO&=\mathbf {Z} /2\\\pi _{3}KO&=0\\\pi _{4}KO&=\mathbf {Z} \\\pi _{5}KO&=0\\\pi _{6}KO&=0\\\pi _{7}KO&=0\\\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29742abb61fe4022cf55be493b2c81a1975f118d)
同伦群的计算和解释
低维群
最初的几个同论群可以用低维群的同论群具体的描述。
保持/反定向(这个类存留到
从而稳定)
得出:
即自旋群
,有到
的满射,从而后一个群消失。
李群
由李群一般性事实,
总消失,
是自由阿贝尔群。
向量丛
从向量丛的观点来看,
是
上的向量丛,具有两个点。从而在每个点上,丛是平凡的,这个丛的非平凡性是两个点上向量空间的维数之差,所以
是维数。
环路空间
利用博特周期性中环路空间具体的描述,我们可以将高维同伦群理解为容易分析的低维空间的同伦。利用
、O,以及O/U有两个分支,
和
有
个分支,其实是连通的。
同伦群的解释
一小部分结论:[1]
是维数
是定向
是自旋
是拓扑量子场理论
令
,以及
为射影线
上的重复线丛,
是其K-理论。注意到
,这些得出相应球面上的向量丛,以及:
由
生成
由
生成
由
生成
由
生成
有限群上的正交群
正交群也能定义在有限域
上,这里
是一个质数
的幂。在这样的域上定义正交群,偶数维时有两类:
和
;奇数维有一类:
。
如果
是正交群
作用的向量空间,它可以写成正交直和:
,
这里
是双曲线而
不包含奇异向量。如果
,那么
是正类型;若
那么
有偶维数;若
有维数2,则
是负类型。
在n = 1的特例,
是阶为
的二面体群。
当特征大于2时,记O(n,q) = { A ∈ GL(n,q) : A·At=I }。关于这些群的阶数我们有以下公式
。
如果
是
中的平方元素
。
- 如果
不是
中的平方元素
。
迪克森不变量
对偶数维正交群,迪克森不变量是从正交群到Z/2Z的同态,是0或1取决于一个元素是偶数个还是奇数个反射的复合。在特征不等于2的域上迪克森不变量和行列式等价:行列式等于−1的迪克森不变量次幂。
在特征2的域上,行列式总为1,所以迪克森不变量给出了额外的信息。在特征2域上许多作者定义特殊正交群为迪克森不变量为0的元素,而不是行列式为1。
迪克森不变量也能对所有维数的克利福德群和Pin群类似地定义。
特征2域上正交群
特征2域上的正交群常常有不同的表现。这一节列出一些不同:
- 任何域上的任何正交群都是由反射生成,惟一的例外是两个元素的域上的维特指标为2的4维向量空间(Grove 2002,Theorem 6.6 and 14.16)。注意特征2域上的反射定义稍不同。特征2域,垂直于一个向量u的反射将v映为v+B(v,u)/Q(u)·u,这里B是一个双线性形式,Q是和正交矩阵相连的二次形式。而通常的豪斯霍尔德变换是将v映到v-2·B(v,u)/Q(u)·u,当奇特征和零特征时与比较两者不同。
- 在特征2的奇维数2n+1时,完全域上的正交群和2n维辛群相同。事实上特征2时的辛形式时可交换的,而维数为奇数故总有一个1维的核,模去核的商是一个2n维辛空间,正交群作用在它上面。
- 在特征2的偶维数,正交群是辛群的一个子群,因为此时二次型的辛双线性形式也是可交换的。
旋量模
旋量模是一个从域F上正交群到域F的乘法群模去平方元素
- F*/F*2
的同态,将关于模长为n向量的反射映到F*/F*2中的n。
旋量模对实数域上的正交群是平凡的,但是其它域上常常不平凡,譬如实数域上不定二次型定义的正交群。
伽罗瓦上同调和正交群
代数群的伽罗瓦上同调理论,引入了一些更深入的观点。它们有解释的价值,特别是二次型理论的联系;
但就目前所发现的现象而言,大部分都是“马后炮”。第一个观点是一个域上的二次型或者一个正交群的扭曲形式(张量)可以与伽罗瓦H1等同起来。作为一个代数群,正交群一般不是连通或单连通的;第二个观点是引入自旋现象,但前一个和判别式相联系。
一个旋量模的“spin”名字可以用与自旋群(更准确地pin群)的一个联系来解释。这种方法现在可以马上用伽罗瓦上同调(引入克利福德代数的术语)来解释。正交群的自旋群覆叠给出了一个代数群的短正合列:
![{\displaystyle 1\rightarrow \mu _{2}\rightarrow Pin_{V}\rightarrow O_{V}\rightarrow 1}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39c71b127b6cbd1843924ac49ae3857c1ee58f0c)
这里μ2是单位根的代数群;在一个特征非2的域上,粗略地看,和作用平凡的两元素群相同。
从H0(就是取值于F中点的群OV(F))到H1(μ2)的连接同态本质上是spinor模,因为 H1(μ2)同构于域模去平方元素的乘法群。
正交群的H1到自旋群覆叠的核的H2也存在连接同态。因上同调是非阿贝尔的,所以,至少用普通定义,这是我们能走得最远的。
重要子群
物理中,特别是在Kaluza-Klein紧化领域,找出正交群的子群非常重要。主要结论如下:
![{\displaystyle O(n)\supset O(n-1)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06a93c207c2fc3d986b7bd1c22a35bd23250a8fe)
![{\displaystyle O(2n)\supset SU(n)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9927ea1968a5eb9602d9b595bdb1f49921041999)
![{\displaystyle O(2n)\supset USp(n)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b3a1fe3e2a82cad5203b41ef16d6103426a9826)
![{\displaystyle O(7)\supset G_{2}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5a1dbcbe0f6b72ce2cd6512de2bb90b67ae66b9)
正交群O(n)也是一些李群的重要子群:
![{\displaystyle SU(n)\supset O(n)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/799b9fec594329c9d235d241a9669693a8bd2023)
![{\displaystyle USp(2n)\supset O(n)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43d888bb715a69292cfc13448999356182726191)
![{\displaystyle G_{2}\supset O(3)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f65ce2223112d82a35e5d2158715c4a0ecbdd849)
![{\displaystyle F_{4}\supset O(9)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f49f3b856e42eface4ac4387def03d121da5758)
![{\displaystyle E_{6}\supset O(10)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5887b01b0b74b2be9ddf7fa8f3a93d976dc3d406)
![{\displaystyle E_{7}\supset O(12)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f2b6bb5b512616857b0b122d48c9a619482efe8)
![{\displaystyle E_{8}\supset O(16)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc52aa903db318ce9074d5b0af77f88d34204f71)
群O(10)在超弦理论中非常重要,因为它是10维时空的对称群。
另见
注释
参考文献
外部链接