在线性代数中,反对称矩阵(或称斜对称矩阵)指转置矩阵和自身的加法逆元相等的方形矩阵。其满足:
- AT = − A
Quick Facts 线性代数, 向量 ...
线性代数
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![{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a31efc33ac33577d719a3ccd162a9bf21e4847ea)
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向量 · 向量空间 · 基底 · 行列式 · 矩阵
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或写作
,各元素的关系为:
![{\displaystyle a_{ij}=-a_{ji}\,\!}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65b13b66becdbad4f6b9ba00ed6dffc39c694be0)
例如,下例为一个斜对称矩阵:
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}0&2&-1\\-2&0&-4\\1&4&0\end{bmatrix}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5208d0a8179be243b62e384ba69c2c08ed6a9d99)
在非偶数域中,斜对称矩阵中的主对角线元素皆为0。
例子
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}0&2&-1\\-2&0&-4\\1&4&0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}0&2\\-2&0\end{bmatrix}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0d848e8c8120f0911299ecb69edba54776a5b22)
特性
- 斜对称矩阵自身相乘的积是对称矩阵。
- 任意矩阵
,
是斜对称矩阵。
- 若
是斜对称矩阵,
是向量,![{\displaystyle x^{T}Ax=0}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5569b280b6626c3af4c867266433b96d743ef9a)
- 斜对称矩阵的主对角线元素必是零,所以其迹数为零。
行列式
若
是
的斜对称矩阵,其行列式满足
。
- 若
是奇数,行列式等于零。这个结果叫雅可比定理。
- 若
是偶数,行列式可以写成部分元素的多项式的平方:
。
这个多项式
叫
的普法夫行列式。任意实斜对称矩阵的行列式是非负数。
谱理论
斜对称矩阵的特征根永远以成对的形式(±λ)出现,因此一个实数斜对称矩阵的非零特征根为纯虚数将会如下:iλ1, −iλ1, iλ2, −iλ2, …,其中 λk 是实数。
实斜对称矩阵是正规矩阵(它们与伴随矩阵可交换),因此满足谱定理的条件,它说明任何实斜对称矩阵都可以用一个酉矩阵对角化。由于实斜对称矩阵的特征值是复数,因此无法用实矩阵来对角化。然而,通过正交变换,可以把每一个斜对称矩阵化为方块对角线的形式。特别地,每一个2n × 2n的实斜对称矩阵都可以写成A = Q Σ QT的形式,其中Q是正交矩阵,且:
![{\displaystyle \Sigma ={\begin{bmatrix}{\begin{matrix}0&\lambda _{1}\\-\lambda _{1}&0\end{matrix}}&0&\cdots &0\\0&{\begin{matrix}0&\lambda _{2}\\-\lambda _{2}&0\end{matrix}}&&0\\\vdots &&\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &{\begin{matrix}0&\lambda _{r}\\-\lambda _{r}&0\end{matrix}}\\&&&&{\begin{matrix}0\\&\ddots \\&&0\end{matrix}}\end{bmatrix}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/695f425e403040e077a31b770f94467b95216ef2)
对于实数λk。这个矩阵的非零特征值是±iλk。在奇数维的情况中,Σ总是至少有一个行和一个列全是零。
无穷小旋转
斜对称矩阵形成了正交群O(n)在单位矩阵的切空间。在某种意义上,斜对称矩阵可以视为无穷小旋转。
另外一种说法是,斜对称矩阵的空间形成了李群O(n)的李代数o(n)。这个空间上的李括号由交换子给出:
![{\displaystyle [A,B]=AB-BA\ }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e39c4010af25c496dbbd5be995cf81ea7d9727d5)
很容易验证,两个斜对称矩阵的交换子也是斜对称的。
于是,斜对称矩阵A的矩阵指数,是正交矩阵R:
![{\displaystyle R=\exp(A)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {A^{n}}{n!}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c26ba9f4e72697b5eb56530b2715269b257dedea)
李代数的指数映射的像总是位于含有单位元的李群的连通分支内。在李群O(n)的情况中,这个连通分支是特殊正交群SO(n),由所有行列式为1的正交矩阵组成。因此R = exp(A)的行列式为+1。于是,每一个行列式为1的正交矩阵都可以写成某个斜对称矩阵的指数。
参见
参考文献