在线性代数中,对称矩阵(英语:symmetric matrix)指转置矩阵和自身相等方形矩阵。
![{\displaystyle A=A^{\textrm {T}}\ \!}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b1b0639778d31e3eee2c8582f8fa33a4bf320fa)
Quick Facts 线性代数, 向量 ...
线性代数
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![{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a31efc33ac33577d719a3ccd162a9bf21e4847ea)
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向量 · 向量空间 · 基底 · 行列式 · 矩阵
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对称矩阵中的右上至左下方向元素以主对角线(左上至右下)为轴进行对称。若将其写作
,则对所有的i和j,
![{\displaystyle a_{ij}=a_{ji}\ \!}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/345ee164a8ed5ddbfaf43a3dabb821bcbed54324)
下列是3×3的对称矩阵:
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&3\\2&4&-5\\3&-5&6\end{bmatrix}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e60305cc200c2ca3432be53fc0c983f8914d2c59)
- 对于任何方形矩阵
,
是对称矩阵。
为方形矩阵是
为对称矩阵的必要条件,即对称矩阵行数必等于列数。
- 对角矩阵都是对称矩阵。
- 若且唯若两者的乘法可交换(即
)时,两个对称矩阵的积(
)是对称矩阵。两个实对称矩阵乘法可交换若且唯若两者的特征空间相同。[来源请求]
- 任何方形矩阵
,如果它的元素属于一个特征不为2的域(例如实数),可以用刚好一种方法写成一个对称矩阵和一个斜对称矩阵之和:
![{\displaystyle X={\frac {1}{2}}(X+X^{T})+{\frac {1}{2}}(X-X^{T})}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff4ac7044b6f6dbaec5f8ef3d74ec4d553972c78)
- 每个实方形矩阵都可写作两个实对称矩阵的积,每个复方形矩阵都可写作两个复对称矩阵的积。
- 若对称矩阵
的每个元素均为实数,
是实对称矩阵。
- 一个矩阵同时为对称矩阵及斜对称矩阵若且唯若所有元素都是零。
- 如果X是对称矩阵,那么
也是对称矩阵.
利用若尔当标准形,我们可以证明每一个实方阵都可以写成两个实对称矩阵的乘积,而每一个复方阵都可以写成两个复对称矩阵的乘积。[1]
每一个实非奇异矩阵都可以唯一分解成一个正交矩阵和一个对称正定矩阵的乘积,这称为极分解。奇异矩阵也可以分解,但不是唯一的。
Cholesky分解说明每一个实正定对称矩阵都是一个上三角矩阵和它的转置的乘积。
实对称n × n矩阵出现在二阶连续可微的n元函数的黑塞矩阵之中。
Rn上的每一个二次型q都可以唯一写成q(x) = xTAx的形式,其中A是对称的n × n矩阵。于是,根据谱定理,可以说每一个二次型,不考虑Rn的正交基的选择,“看起来像”:
![{\displaystyle q(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}x_{i}^{2}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30b1ef164ce0cefe4fcb9c02e1ab66e916564956)
其中λi是实数。这大大简化了二次型的研究,以及水平集{x : q(x) = 1}的研究,它们是圆锥曲线的推广。
这是很重要的,部分是由于每一个光滑的多元函数的二阶表现,都由属于该函数的黑塞矩阵的二次型描述;这是泰勒定理的一个结果。
对称阵 Z 分解为3行3列:
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}Z_{11}&Z_{12}&Z_{13}\\Z_{12}^{T}&Z_{22}&Z_{23}\\Z_{13}^{T}&Z_{23}^{T}&Z_{33}\end{bmatrix}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7ae2226038a21acc6162198b254b3735101be4b)
当且仅当
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}Z_{11}&Z_{12}\\Z_{12}^{T}&Z_{22}\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}Z_{11}&Z_{13}\\Z_{13}^{T}&Z_{33}\end{bmatrix}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d1eb2123353c20b0f49414fc9a322695fbfe41a)
时, 存在
, 使得
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}Z_{11}&Z_{12}&Z_{13}\\Z_{12}^{T}&Z_{22}&Z_{23}+X^{T}\\Z_{13}^{T}&Z_{23}^{T}+X&Z_{33}\end{bmatrix}}<0}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e979e23a2900779994b4368d084b3274f4735ed4)
成立。
A. J. Bosch. The factorization of a square matrix into two symmetric matrices. American Mathematical Monthly. 1986, 93: 462–464. doi:10.2307/2323471.