线性无关

在线性代数里，向量空间的一组元素中，若没有向量可用有限个其他向量的线性组合所表示，则称为线性无关或线性独立（linearly independent），反之称为线性相关（linearly dependent）。例如在三维欧几里得空间R³的三个向量(1, 0, 0)，(0, 1, 0)和(0, 0, 1)线性无关。但(2, −1, 1)，(1, 0, 1)和(3, −1, 2)线性相关，因为第三个是前两个的和。

线性代数
${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}$
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定义

假设V是在域K上的向量空间。如果${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\dots ,\mathbf {v} _{n}}$是V的向量，若它们为线性相关，则在域K 中有非全零的元素${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}}$，使得

${\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}=\mathbf {0} }$；

或更简略地表示成，

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}\mathbf {v} _{i}=\mathbf {0} }$。

（注意右边的零是V的零向量，不是K的零元素。）

如果K中不存在这样的元素，那么${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\dots ,\mathbf {v} _{n}}$是线性无关。

对线性无关可以给出更直接的定义。向量${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\dots ,\mathbf {v} _{n}}$线性无关，若且唯若它们满足以下条件：如果${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}}$是K的元素，适合：

${\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}=\mathbf {0} }$，

那么对所有${\displaystyle i=1,2,\dots ,n}$都有${\displaystyle a_{i}=0}$。

在V中的一个无限集，如果它任何一个有限子集都是线性无关，那么原来的无限集也是线性无关。

线性相关性是线性代数的重要概念，因为线性无关的一组向量可以生成一个向量空间，而这组向量则是这向量空间的基。

相关性

• 含有零向量的向量组，必定线性相关。

若有向量组${\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{s}}$，其中${\displaystyle a_{1}=0}$，则${\displaystyle a_{1}=0\cdot a_{2}+...+0\cdot a_{s}}$。

• 含有两个相等向量的向量组，必定线性相关。

若有向量组${\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{s}}$，其中${\displaystyle a_{1}=a_{2}}$，则${\displaystyle a_{1}=1\cdot a_{2}+0\cdot a_{3}+...+0\cdot a_{s}}$。

• 若一向量组相关，则加上任意个向量后，仍然线性相关；即局部线性相关，整体必线性相关。
• 整体线性无关，局部必线性无关。
• 向量个数大于向量维数，则此向量组线性相关。
• 若一向量组线性无关，即使每一向量都在同一位置处增加一分量，仍然线性无关。
• 若一向量组线性相关，即使每一向量都在同一位置处减去一分量，仍然线性相关。
• 若${\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{s}}$线性无关，而${\displaystyle b,a_{1},a_{2},...,a_{s}}$线性相关，则${\displaystyle b}$必可由${\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{s}}$线性表示，且表示系数唯一。
• 有向量组${\displaystyle {\textrm {I}}\{a_{1},a_{2},...,a_{s}\}}$和${\displaystyle {\textrm {II}}\{b_{1},b_{2},...,b_{t}\}}$，其中${\displaystyle t>s}$，且${\displaystyle {\textrm {II}}}$中每个向量都可由${\displaystyle {\textrm {I}}}$线性表示，则向量组${\displaystyle {\textrm {II}}}$必线性相关。即向量个数多的向量组，若可被向量个数少的向量组线性表示，则向量个数多的向量组必线性相关。
• 若一向量组${\displaystyle b_{1},b_{2},...,b_{t}}$可由向量组${\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{s}}$线性表示，且${\displaystyle b_{1},b_{2},...,b_{t}}$线性无关，则${\displaystyle t\leq s}$。即线性无关的向量组，无法以向量个数较少的向量组线性表示。

例子1

设V = Rⁿ，考虑V内的以下元素：

${\displaystyle {\begin{matrix}\mathbf {e} _{1}&=&(1,0,0,\ldots ,0)\\\mathbf {e} _{2}&=&(0,1,0,\ldots ,0)\\&\vdots \\\mathbf {e} _{n}&=&(0,0,0,\ldots ,1).\end{matrix}}}$

则e₁、e₂、……、e_n是线性无关的。

证明

假设a₁、a₂、……、a_n是R中的元素，使得：

${\displaystyle a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {e} _{n}=0.\,\!}$

由于

${\displaystyle a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {e} _{n}=(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}),\,\!}$

因此对于{1, ..., n}内的所有i，都有a_i = 0。

例子2

设V是实变量t的所有函数的向量空间。则V内的函数e^t和e^2t是线性无关的。

证明

假设a和b是两个实数，使得对于所有的t，都有：

ae^t + be^2t = 0

我们需要证明a = 0且b = 0。我们把等式两边除以e^t（它不能是零），得：

be^t = −a

也就是说，函数be^t与t一定是独立的，这只能在b = 0时出现。可推出a也一定是零。

例子3

R⁴内的以下向量是线性相关的。

${\displaystyle {\begin{matrix}\\{\begin{bmatrix}1\\4\\2\\-3\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}7\\10\\-4\\-1\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}-2\\1\\5\\-4\end{bmatrix}}\\\\\end{matrix}}}$

证明

我们需要求出标量${\displaystyle \lambda _{1}}$、${\displaystyle \lambda _{2}}$和${\displaystyle \lambda _{3}}$，使得：

${\displaystyle {\begin{matrix}\\\lambda _{1}{\begin{bmatrix}1\\4\\2\\-3\end{bmatrix}}+\lambda _{2}{\begin{bmatrix}7\\10\\-4\\-1\end{bmatrix}}+\lambda _{3}{\begin{bmatrix}-2\\1\\5\\-4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix}}.\end{matrix}}}$

可以形成以下的方程组：

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}&\;+7\lambda _{2}&&-2\lambda _{3}&=0\\4\lambda _{1}&\;+10\lambda _{2}&&+\lambda _{3}&=0\\2\lambda _{1}&\;-4\lambda _{2}&&+5\lambda _{3}&=0\\-3\lambda _{1}&\;-\lambda _{2}&&-4\lambda _{3}&=0\\\end{aligned}}}$

解这个方程组（例如使用高斯消元法），可得：

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}&=\lambda _{1}\\\lambda _{2}&=(-\lambda _{1})/3\\\lambda _{3}&=(-2\lambda _{1})/3.\\\end{aligned}}}$

由于它们都是非平凡解，因此这些向量是线性相关的。

参考文献

• Siegfried Bosch: Lineare Algebra. 5. Auflage, Springer, Berlin/Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-55259-5, Kapitel 1.5.