在数学中,给定两个群
和
,从
到
的群同态是函数
使得对于所有
中的
和
下述等式成立
![{\displaystyle h(u*v)=h(u)\cdot h(v)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f72ff28b85b0f6fdd8fa3c7b6e21d0887600c44)
从
(左)到
(右)的群同态(
)的像。在
内的椭圆形是
的像。
是
的核而
是
的陪集。
Quick Facts 群论, 基本概念 ...
群论
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群
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无限维群
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共形群 微分同胚群
环路群
量子群 O(∞) SU(∞) Sp(∞)
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Close
在这里,等号左侧的群运算
,是
中的运算;而右侧的运算
是
中的运算。
从这个性质,可推导出
将
的单位元
映射到
的单位元
,并且它还在
的意义上映射逆元到逆元。因此我们可以说
“兼容于群结构”。
过去同态
常用
或
来表示,它容易混淆于索引或一般下标。更新近的倾向是把群同态写在它们的自变量的右侧,省略括号,如此
简化成了
。这种方法因为其更适应自动机从左至右读字的习惯从而在某些广泛应用自动机理论的群论中颇为流行。
在考虑有额外的结构的群的数学领域中,同态不仅要满足上述的群结构,还要满足额外的结构。比如拓扑群的同态经常要求是连续的。