给定一个群
,
为
的子集,则有
为
的子群若且唯若
。
若
为
的子群可表示为
,则以上表述可表示为:
证明:
:
因为
,对于任意
,
,另有
,由于
为一个群,所以
。
:
假设
,令
,可得
,即
存在单位元。
对于
,令
,
,可得
,即对于任意
,存在
。
对于
,令
,
,可得
,即对于任意
,
。
因此
成立。
![{\displaystyle \Longleftrightarrow }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74a3a1a17366e695966bae38466f8466653a43f4)
且存在一个映射
,且对每个
有
。
![{\displaystyle \Longleftrightarrow }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74a3a1a17366e695966bae38466f8466653a43f4)
,其中
为
的单位元素。
- 若
,则
为会使得
之
中的元素,有
。
- 若
.但
则不一定,例如2和3是在
与
的联集中,但其总和5则不是。
- 若S是G的子集,则存在一个包括S的最小子群,其可以由取得所有包括S的子群之交集来找出;此一最小子群被标记为<S>且称为由S产生的子群。G内的一个元素在<S>内若且唯若其为S内之元素的有限乘积且其逆元。
- 群G内的每一个元素a都会产生一个循环子群<a>。若<a>同构于某一正整数n之Z/nZ,则n会是最小个会使得an = e的正整数,且n被称为是a的“阶”。若<a>同构于Z,则a会被称有“无限阶”。
- 任一给定的群之子群都会形成一个在内含下的完全格,称之为子群格。(其最大下界为一般的集合论交集,而其一群子群的最小上界所此些子群之集合论联集“所产生”的子群。)若e为G的单位元素,则其当然群{e}会是群G的最小子群,而其最大子群则会是群G本身。
和以8为模的加法为二元运算的群(此群亦同时是阿贝尔群)。
其凯莱表为
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此凯莱表是故意不用常规的排列法来表明此群有著一对非当然子群:
和
,其中
亦是
的子群。
的凯莱表是
的凯莱表之左上半部。
群是循环的,而其子群亦为。一般而言,循环群的子群亦为循环的。
如果
,则
是一个子群
我们设
一个群G的子集,包含了所有与群G中其他元素可交换的元素,也就是说
,此集合为群G的子群。我们称此子群为群的中心,记作
。
设A为G的任意子集,则A在G中的中心化子为集合
,此集合的定义为:
,此集合也是群G的子群。
至于A在G中的正规化子则为集合
,此集合定义为:
,此集合也是群G的子群。
给定一子群H和G内的某一元素a,则可定义出一个左陪集 aH={ah;h∈H}。因为a为可逆的,由φ(h) = ah给出之映射φ : H → aH为一个双射。更甚地,每一个G内的元素都包含在恰好一个H的左陪集中;其左陪集为对应于一等价关系的等价类,其等价关系a1 ~ a2若且唯若a1−1a2会在H内。H的左陪集之数目称之为H在G内的“指数”,并标记为[G:H]。
拉格朗日定理叙述著对一个有限群G和一个子群H而言,
![{\displaystyle [G:H]={o(G) \over o(H)}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a659c61f274e8d6013b12584f84728208c5974aa)
其中o(G)和o(H)分别为G和H的阶。特别地是,每一个G的子群的阶(和每一个G内元素的阶)都必须为o(G)的因数。
右陪集为相类比之定义:Ha = {ha : h∈H}。其亦有对应于一适当之等价关系的等价类,且其个数亦会相等于[G:H]。
若对于每个在G内的a,aH=Ha,则H称之为正规子群。每一个指数2的子群皆为正规的:左陪集和右陪集都简单地为此一子群和其补集。