拉格朗日定理 (群论)

拉格朗日定理是群论中一个重要的结果，描述了一个群和它的子群的元素个数之间的关系。这个定理对有限群的结构给出了很多线索。

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定理陈述

拉格朗日定理^[1] — 如果 ${\displaystyle H}$ 是群 ${\displaystyle G}$ 的子群^{[注 1]}，那么 $${\displaystyle |G|=|H|[G:H]}$$ 而如果 ${\displaystyle G}$ 是有限群，那么这个定理可以简化成—— ${\displaystyle |H|}$ 是 ${\displaystyle |G|}$ 的因数。

证明思路

定理的证明利用了陪集的以下性质：

1. 一个子群的所有陪集在集合意义下有相同的大小^{[注 2]}（ Cardinality ）^[2]。
2. 一个子群的所有陪集分割^{[注 3]}了整个群^[3]。
3. 根据集合的特性， ${\displaystyle G}$ 的大小可以写成是陪集的大小（ ${\displaystyle |H|}$ ）乘上^{[注 4]}陪集的数量（ ${\displaystyle [G:H]}$ ）。

推论

1. 由拉格朗日定理可立即得到——有限群 ${\displaystyle G}$ 中每个元素的阶（ Order ）都会整除群 ${\displaystyle G}$ 的阶（考虑由这个元素生成的循环群）。
2. 如果 ${\displaystyle |G|}$ 是质数，那么 ${\displaystyle G}$ 同构于质数阶的循环群 ${\displaystyle C_{|G|}}$ （因为质数没有 ${\displaystyle 1}$ 和自身以外的因数）^[4]。
3. 费马小定理是拉格朗日定理的一个简单推论^[5]。

逆命题

拉格朗日定理的逆命题并一般来说不成立。 ${\displaystyle |G|}$ 的因数可能不是任何子群的阶。例如交错群 ${\displaystyle A_{4}}$ 的阶是 ${\displaystyle 12}$ ，但它没有任何阶是 ${\displaystyle 6}$ 子群^[6]。然而柯西定理以及它的推广——西罗定理——则表明：具有特定形式的因数确实是某个子群的阶；而如果 ${\displaystyle G}$ 是可解群的话，则西罗定理还可以进一步推广成霍尔定理（英语：Hall subgroup#Hall's theorem）。

参见

• 群
• 陪集
• 费马小定理
• 西罗定理
• 有限群
• 阶 (群论)

注解

1. 没有假设是有限群
2. 或称——势
3. 意思是每个群元素都位在刚好一个（ exactly one ）陪集之中
4. cardinality 意义下的乘法。在有限的情况下就和是普通意义的整数乘法

引用

1. Hungerford 1974，第39页，Corollary 4.6.
2. Hungerford 1974，第38页，Theorem 4.2.
3. Hungerford 1974，第38页，Corollary 4.3.
4. Gallian 2012，第149页，Corollary 3.
5. Gallian 2012，第149页，Corollary 5.
6. Gallian 2012，第149页，Example 5.

参考文献

• Gallian, Joseph. Contemporary Abstract Algebra 第八版. Cengage Learning. 2012. ISBN 978-1133599708 （英语）.
• Hungerford, Thomas William. Algebra 第一版. Springer. 1974. ISBN 978-1-4612-6101-8 （英语）.