拉格朗日定理 (群论)

拉格朗日定理是群论中一个重要的结果，描述了一个群和它的子群的元素个数之间的关系。这个定理对有限群的结构给出了很多线索。

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定理陈述

拉格朗日定理^[1] — 如果 ${\displaystyle H}$ 是群 ${\displaystyle G}$ 的子群^{[注 1]}，那么 $${\displaystyle |G|=|H|[G:H]}$$ 而如果 ${\displaystyle G}$ 是有限群，那么这个定理可以简化成—— ${\displaystyle |H|}$ 是 ${\displaystyle |G|}$ 的因数。

证明思路

定理的证明利用了陪集的以下性质：

1. 一个子群的所有陪集在集合意义下有相同的大小^{[注 2]}（ Cardinality ）^[2]。
2. 一个子群的所有陪集分割^{[注 3]}了整个群^[3]。
3. 根据集合的特性， ${\displaystyle G}$ 的大小可以写成是陪集的大小（ ${\displaystyle |H|}$ ）乘上^{[注 4]}陪集的数量（ ${\displaystyle [G:H]}$ ）。

推论

1. 由拉格朗日定理可立即得到——有限群 ${\displaystyle G}$ 中每个元素的阶（ Order ）都会整除群 ${\displaystyle G}$ 的阶（考虑由这个元素生成的循环群）。
2. 如果 ${\displaystyle |G|}$ 是质数，那么 ${\displaystyle G}$ 同构于质数阶的循环群 ${\displaystyle C_{|G|}}$ （因为质数没有 ${\displaystyle 1}$ 和自身以外的因数）^[4]。
3. 费马小定理是拉格朗日定理的一个简单推论^[5]。

逆命题

拉格朗日定理的逆命题并一般来说不成立。 ${\displaystyle |G|}$ 的因数可能不是任何子群的阶。例如交错群 ${\displaystyle A_{4}}$ 的阶是 ${\displaystyle 12}$ ，但它没有任何阶是 ${\displaystyle 6}$ 子群^[6]。然而柯西定理以及它的推广——西罗定理——则表明：具有特定形式的因数确实是某个子群的阶；而如果 ${\displaystyle G}$ 是可解群的话，则西罗定理还可以进一步推广成霍尔定理（英语：Hall subgroup#Hall's theorem）。

参见

• 群
• 陪集
• 费马小定理
• 西罗定理
• 有限群
• 阶 (群论)