群的生成集合

在抽象代数中，群 ${\displaystyle G}$ 的生成集合是子集 S 使得所有 G 的所有元素都可以表达为 S 的元素和它们的逆元中的有限多个元素的乘积。

更一般的说，如果 S 是群 G 的子集，则 ${\displaystyle S}$ 所生成的子群 <S> 是包含所有 S 的元素的 G 的最小子群，这意味著它是包含 S 元素的所有子群的交集；等价的说，<S> 是 G 中所有可以用 S 的元素和它们的逆元中的有限乘积表达的元素的子群。

如果 G = <S>，则我们称 S 生成 G；S 中的元素叫做生成元或群生成元。如果 S 是空集，则 <S> 是平凡群 {e}，因为我们认为空乘积是单位元。

在 S 中只有一个单一元素 x 的时候，<S> 通常写为 <x>。在这种情况下，<x> 是 x 的幂的循环子群，我们称这个循环群是用 x 生成的。与声称一个元素 x 生成一个群等价，还可以声称它有阶 |G|，或者说 <x> 等于整个群 G。

有限生成群

如果 S 是有限的，则群 G = <S> 叫做有限生成群。有限生成阿贝尔群的结构特别容易描述。很多对有限生成群成立的定理对一般的群无效。

所有有限群是有限生成群因为 <G> = G。整数集在加法下的群是由 <1> 和 <-1> 二者有限生成的无限群的例子，但是有理数集在加法下的群不能有限生成。不可数群都不能有限生成。

同一个群的不同子集都可以是生成子集；比如，如果 p 和 q 是 gcd(p, q) = 1 的整数，则 <{p, q}> 还生成整数集在加法下的群(根据贝祖等式)。

尽管有限生成群的所有商群是有限生成群为真(简单的在商群中选取生成元的像)，有限生成群的子群不必须是有限生成群，例如，设 G 是有两个生成元 x 和 y 的自由群，(它明显是有限生成群，因为 G = <{x,y}>)，并设 S 是由形如 yⁿxy⁻ⁿ 的所有 G 的元素构成子集，这里的 n 是自然数。因为 <S> 明显同构于有可数个生成元的自由群，它不能被有限生成。但是，所有有限生成阿贝尔群的子群完全是有限生成群。更进一步: 所有有限生成群的类在群扩张下闭合。要看出这个结论，选取(有限生成)正规子群和商群的生成集合: 正规子群的生成元和商群的生成元的前像一起生成了这个群。

自由群

由集合 S 生成的最一般的群是 S 自由生成的群。所有 S 生成的群同构于这个群的因子群，这个特征实用于一个群的展示的表达中。

Frattini子群

一个有趣的伙伴主题是非生成元。群 G 的元素 x 是非生成元，如果生成 G 的包含 x 的所有集合 S 在把 x 从 S 中去掉的时候仍生成 G。在带有加法的整数集中，唯一的非生成元是 0。所有的非生成元的集合形成了 G 的子群，叫做 Frattini子群。

例子

可逆元的群 U(Z₉) 是所有的互素于 9 的整数在 mod 9 乘法下的群(U₉ ={1,2,4,5,7,8})。这里的所有算术都要模以 9。7 不是 U(Z₉) 的生成元，因为

${\displaystyle \{7^{i}{\pmod {9}}\ |\ i\in \mathbb {N} \}=\{7,4,1\}}$。

而 2 是，因为:

${\displaystyle \{2^{i}{\pmod {9}}\ |\ i\in \mathbb {N} \}=\{1,2,4,5,7,8\}}$。

在另一方面，大小为 n 的 n次对称群不是循环群，因此它不能由任何一个元素生成。但是它可以从两个置换 (1 2) 和 (1 2 3 ... n) 生成。例如，对于 S₃ 我们有:

e = (1 2)(1 2)

(1 2) = (1 2)

(2 3) = (1 2)(1 2 3)

(1 3) = (1 2 3)(1 2)

(1 2 3) = (1 2 3)

(1 3 2) = (1 2)(1 2 3)(1 2)

无限群也可以有有限生成集合。整数集的加法群有 1 作为生成集合。元素 2 不是生成集合，因为它不能生成奇数。两元素子集 {3, 5} 是生成集合，因为 (-5) + 3 + 3 = 1 (事实上，任何一对互素的数都可以，这是贝祖等式的结论)。

参见

• 凯莱图
• 群的展示
• 有限生成

引用

• Lang, Serge, Algebra, Graduate Texts in Mathematics 211 3rd, Springer-Verlag, 2002.

外部链接

• Mathworld: Group generators （页面存档备份，存于互联网档案馆）