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利用符号语言研究数量、结构、变化以及空间等概念的学科 来自维基百科，自由的百科全书
数学是研究数量[1]、结构[2]以及空间[1]等概念及其变化[3][4]的一门学科[5][6]，属于形式科学的一种[7]。数学利用抽象化[7]和逻辑推理，从计数、计算、量度、对物体形状及运动的观察发展而成。数学家们拓展这些概念，以公式化新的猜想，以及从选定的公理及定义出发，严谨地推导出一些定理[8]。
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基础数学的知识与运用是生活中不可或缺的一环。对数学基本概念的完善，早在古埃及、美索不达米亚及古印度历史上的古代数学文本便可观见，而在古希腊那里有更为严谨的处理。从那时开始，数学的发展便持续不断地小幅进展，至16世纪的文艺复兴时期，因为新的科学发现和数学革新两者的交互，致使数学的加速发展，直至今日[9]。数学并成为许多国家及地区的教育中的一部分。
数学在许多领域都有应用，包括科学、工程、医学、经济学和金融学等。数学对这些领域的应用通常被称为应用数学，有时亦会激起新的数学发现，并导致全新学科的发展，例如物理学的实质性发展中建立的某些理论激发数学家对于某些问题的不同角度的思考。数学家也研究纯粹数学，就是数学本身的实质性内容，而不以任何实际应用为目标。许多研究虽然以纯粹数学开始，但其过程中也发现许多可用之处[10]。
西方语言中“数学”（希腊语：μαθηματικά）一词源自于古希腊语的μάθημα（máthēma），其有“学习”、“学问”、“科学”，还有个较狭义且技术性的意思－“数学研究”，即使在其语源内。其形容词μαθηματικός（mathēmatikós），意思为“和学习有关的”或“用功的”，亦会被用来指“数学的”。其在英语中表面上的复数形式，及在法语中的表面复数形式les mathématiques，可溯至拉丁文的中性复数mathematica，由西塞罗译自希腊文复数τα μαθηματικά（ta mathēmatiká），此一希腊语被亚里士多德拿来指“万物皆数”的概念。[11]
汉字表示的“数学”一词大约产生于中国宋元时期。多指象数之学，但有时也含有今天上的数学意义，例如，秦九韶的《数学九章》（《永乐大典》记，即《数书九章》也被宋代周密所著的《癸辛杂识》记为《数学大略》）、《数学通轨》（明代柯尚迁著）、《数学钥》（清代杜知耕著）、《数学拾遗》（清代丁取忠撰）。直到1939年，经过中国数学名词审查委员会研究“算学”与“数学”两词的使用状况后，确认以“数学”表示今天意义上的数学含义。[12]
数学有着久远的历史。它被认为起源于人类早期的生产活动：中国古代的六艺之一就有“数”[13]，数学一词在西方有希腊语词源μαθηματικός（mathematikós），意思是“学问的基础”，源于μάθημα（máthema，“科学，知识，学问”）。
史前的人类就已尝试用自然的法则来衡量物质的多少、时间的长短等抽象的数量关系，比如时间单位有日、季节和年等。算术（加减乘除）也自然而然地产生了。古代的石碑及泥版亦证实了当时已有几何的知识[14][需要较佳来源]。
更进一步则需要写作或其他可记录数字的系统，如符木或于印加帝国内用来储存数据的奇普。历史上曾有过许多不同的记数系统[15]。
在最初有历史记录的时候，数学内的主要原理是为了做税务和贸易等相关计算，为了解数字间的关系，为了测量土地，以及为了预测天文事件而形成的。这些可以简单地被概括为数学对数量、结构、空间及时间方面的研究。
到了16世纪，算术、初等代数以及三角学等初等数学已大体完备[16][17]。17世纪变量概念的产生使人们开始研究变化中的量与量的互相关系和图形间的互相变换，微积分的概念也在此时形成。随着数学转向形式化，为研究数学基础而产生的集合论和数理逻辑等也开始发展。数学的重心从求解实际问题转变到对一般形式上的思考。
从古至今，数学便一直不断地延展，且与科学有丰富的相互作用，两者的发展都受惠于彼此。在历史上有著许多数学发现，并且直至今日都不断地有新的发现。据米哈伊尔·B·塞甫留克（Mikhail B. Sevryuk）于美国数学会通报2006年1月的期刊中所说，“存放于数学评论资料库中论文和书籍的数量自1940年（数学评论的创刊年份）现已超过了一百九十万份，而且每年还增加超过七万五千份。此一学海的绝大部份为新的数学定理及其证明。”[18]
每当有涉及数量、结构、空间及变化等方面的问题时，通常就需要用到数学去解决问题，而这往往也拓展了数学的研究范畴。一开始，数学的运用可见于贸易、土地测量及之后的天文学。今日，所有的科学都存在著值得数学家研究的问题，且数学本身亦给出了许多的问题。牛顿和莱布尼兹是微积分的发明者，费曼发明了费曼路径积分，这是推理及物理洞察二者的产物，而今日的弦理论亦引申出新的数学。一些数学只和生成它的领域有关，且用来解答此领域的更多问题。但一般被一领域生成的数学在其他许多领域内也十分有用，且可以成为一般的数学概念。即使是“最纯的”数学通常亦有实际的用途，此一非比寻常的事实，被1963年诺贝尔物理奖得主维格纳称为“数学在自然科学中不可想像的有效性”[19]。
如同大多数的研究领域，科学知识的爆发导致了数学的专业化。主要的分歧为纯数学和应用数学。在应用数学内，又被分成两大领域，并且变成了它们自身的学科——统计学和电脑科学。
许多数学家谈论数学的优美，其内在的美学及美。“简单”和“一般化”即为美的一种。另外亦包括巧妙的证明，如欧几里得对存在无限多质数的证明；又或者是加快计算的数值方法，如快速傅立叶变换。高德菲·哈罗德·哈代在《一个数学家的自白》一书中表明他相信单单是美学上的意义，就已经足够成为数学研究的正当理由。
我们现今所使用的大部分数学符号在16世纪后才被发明出来的。在此之前，数学以文字的形式书写出来，这种形式会限制了数学的发展。现今的符号使得数学对于专家而言更容易掌握，但初学者却常对此望而却步。它被极度的压缩：少量的符号包含著大量的讯息。如同音乐符号一般，现今的数学符号有明确的语法，并且有效地对讯息作编码，这是其他书写方式难以做到的。符号化和形式化使得数学迅速发展，并帮助各个科学领域建立基础支撑理论。
数学语言亦对初学者而言感到困难。如“或”和“只”这些字有著比日常用语更精确的意思。亦困恼著初学者的，如“开放”和“域”等字在数学里有著特别的意思。数学术语亦包括如“同胚”及“可积性”等专有名词。但使用这些特别符号和专有术语是有其原因的：数学需要比日常用语更多的精确性。数学家将此对语言及逻辑精确性的要求称为“严谨”。但在现实应用中，舍弃一些严谨性往往会得到更好的结果。
严谨是数学证明中很重要且基本的一部份。数学家希望他们的定理以系统化的推理依著公理被推论下去。这是为了避免依著不可靠的直观而推出错误的“定理”，而这情形在历史上曾出现过许多的例子。[注 1]在数学中被期许的严谨程度因著时间而不同：希腊人期许著仔细的论证，但在牛顿的时代，所使用的方法则较不严谨。牛顿为了解决问题所做的定义，到了十九世纪才重新以小心的分析及正式的证明来处理。今日，数学家们则持续地在争论电脑协助证明的严谨度。当大量的计算难以被验证时，其证明亦很难说是足够地严谨。
公理在传统的思想中是“不证自明的真理”，但这种想法是有问题的。在形式上，公理只是一串符号，其只对可以由公理系统导出的公式之内容有意义。希尔伯特计划即是想将所有的数学放在坚固的公理基础上，但依据哥德尔不完备定理，每一相容且能蕴涵皮亚诺公理的公理系统必含有一不可决定的公式；因而所有数学的最终公理化是不可能的。尽管如此，数学常常被想像成只是某种公理化的集合论，在此意义下，所有数学叙述或证明都可以写成集合论的公式。
卡尔·弗里德里希·高斯称数学为“科学的皇后”。[20]在拉丁原文Regina Scientiarum，以及其德语Königin der Wissenschaften中，对应于“科学”的单字的意思皆为知识（领域）。而实际上，science一词在英语内本来就是这个意思，且无疑问地数学在此意义下确实是一门“科学”。将科学限定在自然科学则是在此之后的事。若认为科学是只指物理的世界时，则数学，或至少是纯数学，不会是一门科学。爱因斯坦曾如此描述：“数学定律越和现实有关，它们越不确定；若它们越是确定的话，它们和现实越不会有关。”[21][注 2]许多哲学家相信数学在经验上不具可否证性[22]，且因此不是卡尔·波普尔所定义的科学。但在1930年代时，在数理逻辑上的重大进展显示数学不能归并至逻辑内，且波普尔推断“大部份的数学定律，如物理及生物学一样，是假设演绎的：纯数学因此变得更接近其假设为猜测的自然科学，比它现在看起来更接近。”[23]然而，其他的思想家，如较著名的拉卡托斯，便提供了一个关于数学本身的可否证性版本。
另一观点则为某些科学领域（如理论物理）是其公理为尝试著符合现实的数学。而事实上，理论物理学家齐曼（John Ziman）即认为科学是一种公众知识，因此亦包含著数学。在任何的情况下，数学和物理科学的许多领域都有著很多相同的地方，尤其是从假设所得的逻辑推论之探索。直觉和实验在数学和科学的猜想建构上皆扮演著重要的角色。实验数学在数学中的重要性正持续地在增加，且计算和模拟在科学及数学中所扮演的角色也越来越加重，减轻了数学不使用科学方法的缺点。在史蒂芬·沃尔夫勒姆2002年的著作《一种新科学》中他提出，计算数学应被视为其自身的一科学领域来探索。
数学家对此的态度并不一致。一些研究应用数学的数学家觉得他们是科学家，而那些研究纯数学的数学家则时常觉得他们是在一门较接近逻辑的领域内工作，且因此基本上是个哲学家。许多数学家认为称他们的工作是一种科学，是低估了其美学方面的重要性，以及其做为七大博雅教育之一的历史；另外亦有人认为若忽略其与科学之间的关联，是假装没看到数学和其在科学与工程之间的交互影响，进而促进了数学在许多科学上的发展此一事实。这两种观点之间的差异在哲学上产生了数学是“被创造”（如艺术）或是“被发现”（如科学）的争议。大学院系划分中常见“科学和数学系”，这指出了这两个领域被看作有紧密联系而非一样。实际上，数学家通常会在大体上与科学家合作，但在细节上却会分开。此争议亦是数学哲学众多议题的其中一个。
如上所述，数学主要的学科最先产生于商业上计算的需要、了解数字间的关系、测量土地及预测天文事件。这四种需要大致地与数量、结构、空间及变化（即算术、代数、几何及分析）等数学上广泛的子领域相关连著。除了上述主要的关注之外，亦有用来探索由数学核心至其他领域上之间的连结的子领域：至逻辑、至集合论（基础）、至不同科学的经验上的数学（应用数学）、及较近代的至不确定性的严格研究。
数学逻辑专注于将数学置在一坚固的公理架构上，并研究此一架构的结果。就数学逻辑本身而言，其为哥德尔第二不完备定理所属的领域，而这或许是逻辑学中最广为流传的成果：总是存在不能被证明的真命题。
现代逻辑被分成递归论、模型论和证明论，且和理论电脑科学有著密切的关连性，千禧年大奖难题中的P/NP问题就是理论电脑科学中的著名问题[24]。
数量的研究起于数，一开始为熟悉的自然数及整数与被描述在算术内的自然数及整数的算术运算。整数更深的性质于数论中有详细的研究，此一理论包括了如费马最后定理等著名的结果。数论还包括两个被广为探讨的未解问题：孪生质数猜想及哥德巴赫猜想[25]。
当数系更进一步发展时，整数被视为有理数的子集，而有理数则包含于实数中，连续的量即是以实数来表示的。实数则可以被进一步广义化成复数。数的进一步广义化可以持续至包含四元数及八元数。从自然数亦可以推广到超限数，它形式化了计数至无限的这一概念。另一个研究的领域为大小，这个导致了基数和之后对无限的另外一种概念：阿列夫数，它允许无限集合之间的大小可以做有意义的比较。
许多如数及函数的集合等数学物件都有著内含的结构。这些物件的结构性质被探讨于群、环、域等抽象系统中，该些物件事实上也就是这样的系统。此为代数的领域。在此有一个很重要的概念，即广义化至向量空间的向量，它于线性代数中被研究。向量的研究结合了数学的三个基本领域：数量、结构及空间。向量分析则将其扩展至第四个基本的领域内，即变化。
创立于二十世纪三十年代的法国的布尔巴基学派认为：纯粹数学，是研究抽象结构的理论。 结构，就是以初始概念和公理出发的演绎系统。 布尔巴基学派认为，有三种基本的抽象结构：代数结构（群，环，域……），序结构（偏序，全序……），拓扑结构（邻域，极限，连通性，维数……）[26]。
空间的研究源自于几何－尤其是欧几里得几何。三角学则结合了空间及数，且包含有著名的勾股定理。现今对空间的研究更推广到了更高维的几何、非欧几里得几何（其在广义相对论中扮演著核心的角色）及拓扑学。数和空间在解析几何、微分几何和代数几何中都有著很重要的角色。在微分几何中有著纤维丛及流形上的微积分等概念。在代数几何中有著如多项式方程的解集等几何物件的描述，结合了数和空间的概念；亦有著拓扑群的研究，结合了结构与空间。李群被用来研究空间、结构及变化。在其许多分支中，拓扑学可能是二十世纪数学中有著最大进展的领域，并包含有存在已久的庞加莱猜想，以及有争议的四色定理。庞加莱猜想已在2006年确认由俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼证明[27]，而四色定理已在1976年由凯尼斯·阿佩尔和沃夫冈·哈肯用电脑证明[28]，而从来没有由人力来验证过。
了解及描述变化在自然科学里是一普遍的议题，而微积分更为研究变化的有利工具。函数诞生于此，作为描述一变化的量的核心概念。对于实数及实变函数的严格研究为实分析，而复分析则为复数的等价领域。黎曼猜想——数学最基本的未决问题之一——便是以复分析来描述的[29][需要较佳来源]。泛函分析注重在函数的（一般为无限维）空间上。泛函分析的众多应用之一为量子力学。许多的问题很自然地会导出一个量与其变化率之间的关系，而这在微分方程中被研究。在自然界中的许多现象可以被动力系统所描述；混沌理论则是对系统的既不可预测而又是决定的行为作明确的描述。
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| 微积分 | 向量分析 | 微分方程 | 动力系统 | 混沌理论 | 复分析 |
离散数学是指对理论电脑科学最有用处的数学领域之总称，这包含有可计算理论、计算复杂性理论及资讯理论。可计算理论检验电脑的不同理论模型之极限，这包含现知最有力的模型——图灵机[30][需要较佳来源]。复杂性理论研究可以由电脑做为较易处理的程度；有些问题即使理论是可以以电脑解出来，但却因为会花费太多的时间或空间而使得其解答仍然不为实际上可行的，尽管电脑硬体的快速进步。最后，资讯理论专注在可以储存在特定媒介内的资料总量，且因此有压缩及熵等概念。
作为一相对较新的领域，离散数学有许多基本的未解问题。其中最有名的为P/NP问题——千禧年大奖难题之一。[24]一般相信此问题的解答是否定的。[31]
应用数学思考将抽象的数学工具运用在解答科学、工商业及其他领域上之现实问题。应用数学中的一重要领域为统计学，它利用机率论为其工具并允许对含有机会成分的现象进行描述、分析与预测。大部份的实验、调查及观察研究需要统计对其资料的分析。（许多的统计学家并不认为他们是数学家，而比较觉得是合作团体的一份子。）数值分析研究有什么计算方法，可以有效地解决那些人力所限而算不出的数学问题；它亦包含了对计算中舍入误差或其他来源的误差之研究[32][与来源不符]。
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数学奖通常和其他科学的奖项分开。数学上最有名的奖为菲尔兹奖，[注 3][33]创立于1936年，每四年颁奖一次。它通常被认为是数学领域的诺贝尔奖。另一个国际上主要的奖项为阿贝尔奖，创立于2003年。两者都颁奖于特定的工作主题，包括数学新领域的创新或已成熟领域中未解决问题的解答。著名的23个问题，称为希尔伯特的23个问题，于1900年由德国数学家大卫·希尔伯特所提出。这一连串的问题在数学家之间有著极高的名望，且至少有九个问题已经被解答了出来。另一新的七个重要问题，称为千禧年大奖难题，发表于2000年。对其每一个问题的解答都有著一百万美元的奖金，而当中只有一个问题（黎曼猜想）和希尔伯特的问题重复。
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