数学 上,可以表达为两个整数比的数(
a
b
{\displaystyle {\frac {a}{b}}}
,
b
≠
0
{\displaystyle b\neq 0}
)被定义为有理数 ,例如
3
8
{\displaystyle {\frac {3}{8}}}
,0.75(可被表达为
3
4
{\displaystyle {\frac {3}{4}}}
);整数 和整数分数 统称为有理数。
实数(ℝ)包括有理数(ℚ),其中包括整数(ℤ),其中包括自然数(ℕ)
与有理数相对的是无理数 ,如
2
{\displaystyle {\sqrt {2}}}
无法用整数比表示。
有理数与分数 形式的区别,分数 形式是一种表示比值的记法,如 分数形式
2
2
{\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}
是无理数 。
所有有理数的集合 表示为Q ,Q+,或
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
。定义如下:
Q
=
{
m
n
:
m
∈
Z
,
n
∈
Z
,
n
≠
0
}
{\displaystyle \mathbb {Q} =\left\{{\frac {m}{n}}:m\in \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {Z} ,n\neq 0\right\}}
有理数的小数 部分有限或为循环 。不是有理数的实数 遂称为无理数 。
词源
有理数在英文 中称作rational number,来自拉丁语 rationalis,意为理性的;词根ratio,拉丁语意为理性、计算。[1] 代表“比例”的英文ratio一词在历史上出现得要比有理数(rational number)一词更晚,前者最早有记录是1660,而后者是1570年。[2] [3]
运算
有理数集对加、减、乘、除四则运算是封闭的,亦即有理数加、减、乘、除有理数的结果仍为有理数。有理数的加法和乘法如下:
a
b
+
c
d
=
a
d
+
b
c
b
d
a
b
⋅
c
d
=
a
c
b
d
{\displaystyle {\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}\,\ \ \ \ \ \ {\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}}
两个有理数
a
b
{\displaystyle {\frac {a}{b}}}
和
c
d
{\displaystyle {\frac {c}{d}}}
相等当且仅当
a
d
=
b
c
{\displaystyle ad=bc}
有理数中存在加法和乘法的逆:
−
(
a
b
)
=
−
a
b
a
≠
0
{\displaystyle -\left({\frac {a}{b}}\right)={\frac {-a}{b}}\,\ \ \ \ \ \ \ \ a\neq 0}
时,
(
a
b
)
−
1
=
b
a
{\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{-1}={\frac {b}{a}}}
两数相乘,同号得正异号得负,并把绝对值相乘。
古埃及分数
古埃及分数是分子为1、分母为正整数的有理数。每个有理数都可以表达为有限个两两不等的古埃及分数的和。例如:
5
7
=
1
2
+
1
6
+
1
21
{\displaystyle {\frac {5}{7}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{21}}}
对于给定的正有理数,存在无穷 多种表达成有限个两两不等的古埃及分数之和的方法。
形式构建
数学上可以将有理数定义为建立在整数 的有序对 上
(
a
,
b
)
{\displaystyle \left(a,b\right)}
的等价类 ,这里
b
,
d
{\displaystyle b,d}
不为零。我们可以对这些有序对定义加法和乘法,规则如下:
(
a
,
b
)
+
(
c
,
d
)
=
(
a
d
+
b
c
,
b
d
)
{\displaystyle \left(a,b\right)+\left(c,d\right)=\left(ad+bc,bd\right)}
(
a
,
b
)
×
(
c
,
d
)
=
(
a
c
,
b
d
)
{\displaystyle \left(a,b\right)\times \left(c,d\right)=\left(ac,bd\right)}
为了使
2
4
=
1
2
{\displaystyle {\frac {2}{4}}={\frac {1}{2}}}
,定义等价关系
∼
{\displaystyle \sim }
如下:
(
a
,
b
)
∼
(
c
,
d
)
iff
a
d
=
b
c
{\displaystyle \left(a,b\right)\sim \left(c,d\right){\mbox{ iff }}ad=bc}
这种等价关系与上述定义的加法和乘法上是一致的,而且可以将Q 定义为整数有序对关于等价关系~的商集 :
Q
=
Z
×
(
Z
−
{
0
}
)
/
∼
{\displaystyle \mathbb {Q} =\mathbb {Z} \times (\mathbb {Z} -\{0\})/\sim }
。例如:两个对
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
和
(
c
,
d
)
{\displaystyle (c,d)}
是相同的,如果它们满足上述等式。(这种构建可用于任何整数环 ,参见商域 。)
定义大小
Q 上的大小可以定义为:
(
a
,
b
)
≤
(
c
,
d
)
{\displaystyle \left(a,b\right)\leq \left(c,d\right)}
当且仅当
b
d
>
0
{\displaystyle bd>0}
并且
a
d
≤
b
c
{\displaystyle ad\leq bc}
b
d
<
0
{\displaystyle bd<0}
并且
a
d
≥
b
c
{\displaystyle ad\geq bc}
然后
x
<
y
{\displaystyle x<y}
是指
x
≤
y
{\displaystyle x\leq y}
但
y
≰
x
{\displaystyle y\nleq x}
。亦可在“小于 ”概念之上引入“大于 ”的概念,即:
a
<
b
{\displaystyle a<b}
当且仅当
b
>
a
{\displaystyle b>a}
。此排序中,每一对有理数
a
,
b
{\displaystyle a,b}
之间皆可比较,必有且仅有以下关系之一:
a
=
b
{\displaystyle a=b}
,
a
>
b
{\displaystyle a>b}
,
a
<
b
{\displaystyle a<b}
。
又满足传递性 :若
a
<
b
{\displaystyle a<b}
,且
b
<
c
{\displaystyle b<c}
,则
a
<
c
{\displaystyle a<c}
。所以以上定义的大小关系是全序关系 。
有理数集的序还满足稠密性 :若
a
<
b
{\displaystyle a<b}
,则必存在有理数
c
{\displaystyle c}
,满足
a
<
c
{\displaystyle a<c}
,且
c
<
b
{\displaystyle c<b}
。[4]
性质
有理数集是可数的
集合
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
,以及上述的加法和乘法运算,构成域 ,即整数
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
的商域 。
有理数是特征 为0的域最小的一个:所有其他特征为0的域都包含
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
的一个拷贝(即存在一个从
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
到其中的同构 映射)。
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
的代数闭包 ,例如有理数多项式的根的域,是代数数域 。
所有有理数的集合是可数 的,亦即是说
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
的基数 (或势 )与自然数集合
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
相同,都是阿列夫数
ℵ
0
{\displaystyle \aleph _{0}}
,这是因为可以定义一个从有理数集
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
映至自然数集合的笛卡尔积
N
×
N
{\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }
的单射 函数,而
N
×
N
{\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }
是可数集合之故。因为所有实数的集合是不可数的,所以从勒贝格测度 来看,可以认为绝大多数 实数不是有理数。
有理数的序是个稠密序 :任何两个有理数之间存在另一个有理数,事实上是存在无穷多个。此外,有理数集也没有最大和最小元素,所以是无端点的可数稠密全序(dense linear order without endpoints )。康托尔同构定理 说明,任何无端点的可数稠密全序必定序同构 于有理数的序,换言之,若不辨同构之异 ,则有理数的大小序是唯一具此性质的序结构。
实数
有理数是实数 的稠密子集 :每个实数都有任意接近的有理数。一个相关的性质是,仅有理数可化为有限连分数 。
依照它们的序列,有理数具有一个序拓扑 。有理数是实数 的(稠密 )子集 ,因此它同时具有一个子空间拓扑 。采用度量
d
(
x
,
y
)
=
|
x
−
y
|
{\displaystyle d\left(x,y\right)=|x-y|}
,有理数构成一个度量空间 ,这是
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
上的第三个拓扑。幸运的是,所有三个拓扑一致并将有理数转化到一个拓扑域 。有理数是非局部紧致空间 的一个重要的实例。这个空间也是完全不连通 的。有理数不构成完备的度量空间 ;实数 是
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
的完备集。
p 进数
除了上述的绝对值度量,还有其他的度量将
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
转化到拓扑域:
设
p
{\displaystyle p}
是素数 ,对任何非零整数
a
{\displaystyle a}
设
|
a
|
p
=
p
−
n
{\displaystyle |a|_{p}=p^{-n}}
,这里
p
n
{\displaystyle p^{n}}
是整除
a
{\displaystyle a}
的
p
{\displaystyle p}
的最高次幂;
另外
|
0
|
p
=
0
{\displaystyle |0|_{p}=0}
。对任何有理数
a
b
{\displaystyle {\frac {a}{b}}}
,设
|
a
b
|
p
=
|
a
|
p
|
b
|
p
{\displaystyle \left|{\frac {a}{b}}\right|_{p}={\frac {|a|_{p}}{|b|_{p}}}}
。
则
d
p
(
x
,
y
)
=
|
x
−
y
|
p
{\displaystyle d_{p}\left(x,y\right)=|x-y|_{p}}
在
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
上定义了一个度量 。
度量空间
(
Q
,
d
p
)
{\displaystyle \left(\mathbb {Q} ,d_{p}\right)}
不完备,它的完备集是p 进数 域
Q
p
{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}
。
参见
参考文献
Oxford English Dictionary 2nd. Oxford University Press. 1989. Entry ratio , n. , sense 2.a.
Oxford English Dictionary 2nd. Oxford University Press. 1989. Entry rational , a. (adv.) and n. 1 , sense 5.a.