在抽象代数中,分式环或分式域是包含一个整环的最小域,典型的例子是有理数域之于整数环。此外分式环也可以推广到一般的交换环,此时通常称作全分式环。
分式环有时也被称为商域,但此用语易与商环混淆。
分式环是局部化的一个简单特例。以下设
为一个整环,而
。
在集合
上定义下述等价关系
:
![{\displaystyle (r,s)\sim (r',s')\iff rs'-r's=0}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7fd7c4bfbc203d72a632375d762816de28e1747)
等价类
可以想成“分式”
,上述等价关系无非是推广有理数的通分;借此类比,在商集
上定义加法与乘法为:
![{\displaystyle [r,s]+[r',s']=[rs'+r's,ss']}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81546d0a60e354768323a41bc9ac80e277d9f270)
![{\displaystyle [r,s][r',s']=[rr',ss']}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc0e9505cb3ca94832eccca12b06c7ebd43fb8e5)
可验证上述运算是明确定义的。此外还有环同态
,定义为
;这是一个单射。于是可定义分式环
,再配上上述的加法与乘法运算。在实践上,我们常迳将
里的元素写作分式
。
- 有理数域
是整数环
的分式环。
- 有理函数域是多项式环的分式环
- 代数数域是代数整数环的分式环。
- 在一个连通复流形上,亚纯函数域是全纯函数环的分式环。