有理数

数学上，可以表达为两个整数比的数（${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$, ${\displaystyle b\neq 0}$）被定义为有理数（英语：rational number），例如${\displaystyle {\frac {3}{8}}}$，0.75（可被表达为${\displaystyle {\frac {3}{4}}}$）；整数和整数分数统称为有理数。

各种各样的数

基本

${\displaystyle \mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C} }$ 正数 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ 自然数 ${\displaystyle \mathbb {N} }$ 正整数 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}$ 小数 有限小数 无限小数 循环小数 有理数 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 代数数 ${\displaystyle \mathbb {A} }$ 实数 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 复数 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 高斯整数 ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ 负数 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{-}}$ 整数 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 负整数 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{-}}$ 分数 单位分数 二进分数 规矩数 无理数 超越数 虚数 ${\displaystyle \mathbb {I} }$ 二次无理数 艾森斯坦整数 ${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$

延伸

二元数 四元数 ${\displaystyle \mathbb {H} }$ 八元数 ${\displaystyle \mathbb {O} }$ 十六元数 ${\displaystyle \mathbb {S} }$ 超实数 ${\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }$ 大实数 上超实数 双曲复数 双复数 复四元数 共四元数（英语：Dual quaternion） 超复数 超数 超现实数

其他

质数 ${\displaystyle \mathbb {P} }$ 可计算数 基数 阿列夫数 同馀 整数数列 公称值 规矩数 可定义数 序数 超限数 p进数 数学常数 圆周率 ${\displaystyle \pi =3.14159265}$… 自然对数的底 ${\displaystyle e=2.718281828}$… 虚数单位 ${\displaystyle i={\sqrt {-{1}}}}$ 无限大 ${\displaystyle \infty }$

查 论 编

实数（ℝ）包括有理数（ℚ），其中包括整数（ℤ），其中包括自然数（ℕ）

与有理数相对的是无理数，如${\displaystyle {\sqrt {2}}}$无法用整数比表示。

有理数与分数形式的区别，分数形式是一种表示比值的记法，如分数形式${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$是无理数。
所有有理数的集合表示为Q，Q+,或${\displaystyle \mathbb {Q} }$。定义如下：

${\displaystyle \mathbb {Q} =\left\{{\frac {m}{n}}:m\in \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {Z} ,n\neq 0\right\}}$

有理数的小数部分有限或为循环。不是有理数的实数遂称为无理数。

词源

有理数在英文中称作rational number，来自拉丁语rationalis，意为理性的；词根ratio，拉丁语意为理性、计算。^[1]代表“比例”的英文ratio一词在历史上出现得要比有理数（rational number）一词更晚，前者最早有记录是1660，而后者是1570年。^[2][3]

运算

有理数集对加、减、乘、除四则运算是封闭的，亦即有理数加、减、乘、除有理数的结果仍为有理数。有理数的加法和乘法如下：

${\displaystyle {\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}\,\ \ \ \ \ \ {\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}}$

两个有理数${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$和${\displaystyle {\frac {c}{d}}}$相等当且仅当${\displaystyle ad=bc}$

有理数中存在加法和乘法的逆：

${\displaystyle -\left({\frac {a}{b}}\right)={\frac {-a}{b}}\,\ \ \ \ \ \ \ \ a\neq 0}$时，${\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{-1}={\frac {b}{a}}}$

两数相乘，同号得正异号得负，并把绝对值相乘。

古埃及分数

主条目：古埃及分数

古埃及分数是分子为1、分母为正整数的有理数。每个有理数都可以表达为有限个两两不等的古埃及分数的和。例如：

${\displaystyle {\frac {5}{7}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{21}}}$

对于给定的正有理数，存在无穷多种表达成有限个两两不等的古埃及分数之和的方法。

形式构建

数学上可以将有理数定义为建立在整数的有序对上${\displaystyle \left(a,b\right)}$的等价类，这里${\displaystyle b,d}$不为零。我们可以对这些有序对定义加法和乘法，规则如下：

${\displaystyle \left(a,b\right)+\left(c,d\right)=\left(ad+bc,bd\right)}$

${\displaystyle \left(a,b\right)\times \left(c,d\right)=\left(ac,bd\right)}$

为了使${\displaystyle {\frac {2}{4}}={\frac {1}{2}}}$，定义等价关系${\displaystyle \sim }$如下：

${\displaystyle \left(a,b\right)\sim \left(c,d\right){\mbox{ iff }}ad=bc}$

这种等价关系与上述定义的加法和乘法上是一致的，而且可以将Q定义为整数有序对关于等价关系~的商集：${\displaystyle \mathbb {Q} =\mathbb {Z} \times (\mathbb {Z} -\{0\})/\sim }$。例如：两个对${\displaystyle (a,b)}$和${\displaystyle (c,d)}$是相同的，如果它们满足上述等式。（这种构建可用于任何整数环，参见商域。）

定义大小

Q上的大小可以定义为：

${\displaystyle \left(a,b\right)\leq \left(c,d\right)}$当且仅当

1. ${\displaystyle bd>0}$并且${\displaystyle ad\leq bc}$
2. ${\displaystyle bd<0}$并且${\displaystyle ad\geq bc}$

然后${\displaystyle x<y}$是指${\displaystyle x\leq y}$但${\displaystyle y\nleq x}$。亦可在“小于”概念之上引入“大于”的概念，即：${\displaystyle a<b}$当且仅当${\displaystyle b>a}$。此排序中，每一对有理数${\displaystyle a,b}$之间皆可比较，必有且仅有以下关系之一：

${\displaystyle a=b}$，${\displaystyle a>b}$，${\displaystyle a<b}$。

又满足传递性：若${\displaystyle a<b}$，且${\displaystyle b<c}$，则${\displaystyle a<c}$。所以以上定义的大小关系是全序关系。

有理数集的序还满足稠密性（英语：dense order）：若${\displaystyle a<b}$，则必存在有理数${\displaystyle c}$，满足${\displaystyle a<c}$，且${\displaystyle c<b}$。^[4]

性质

有理数集是可数的

集合${\displaystyle \mathbb {Q} }$，以及上述的加法和乘法运算，构成域，即整数${\displaystyle \mathbb {Z} }$的商域。

有理数是特征为0的域最小的一个：所有其他特征为0的域都包含${\displaystyle \mathbb {Q} }$的一个拷贝（即存在一个从${\displaystyle \mathbb {Q} }$到其中的同构映射）。

${\displaystyle \mathbb {Q} }$的代数闭包，例如有理数多项式的根的域，是代数数域。

所有有理数的集合是可数的，亦即是说${\displaystyle \mathbb {Q} }$的基数（或势）与自然数集合${\displaystyle \mathbb {N} }$相同，都是阿列夫数${\displaystyle \aleph _{0}}$，这是因为可以定义一个从有理数集${\displaystyle \mathbb {Q} }$映至自然数集合的笛卡尔积${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }$的单射函数，而${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }$是可数集合之故。因为所有实数的集合是不可数的，所以从勒贝格测度来看，可以认为绝大多数实数不是有理数。

有理数的序是个稠密序（英语：dense order）：任何两个有理数之间存在另一个有理数，事实上是存在无穷多个。此外，有理数集也没有最大和最小元素，所以是无端点的可数稠密全序（dense linear order without endpoints）。康托尔同构定理（英语：Cantor's isomorphism theorem）说明，任何无端点的可数稠密全序必定序同构于有理数的序，换言之，若不辨同构之异，则有理数的大小序是唯一具此性质的序结构。

实数

有理数是实数的稠密子集：每个实数都有任意接近的有理数。一个相关的性质是，仅有理数可化为有限连分数。

依照它们的序列，有理数具有一个序拓扑。有理数是实数的（稠密）子集，因此它同时具有一个子空间拓扑。采用度量${\displaystyle d\left(x,y\right)=|x-y|}$，有理数构成一个度量空间，这是${\displaystyle \mathbb {Q} }$上的第三个拓扑。幸运的是，所有三个拓扑一致并将有理数转化到一个拓扑域。有理数是非局部紧致空间的一个重要的实例。这个空间也是完全不连通的。有理数不构成完备的度量空间；实数是${\displaystyle \mathbb {Q} }$的完备集。

p进数

除了上述的绝对值度量，还有其他的度量将${\displaystyle \mathbb {Q} }$转化到拓扑域：

设${\displaystyle p}$是素数，对任何非零整数${\displaystyle a}$设${\displaystyle |a|_{p}=p^{-n}}$，这里${\displaystyle p^{n}}$是整除${\displaystyle a}$的${\displaystyle p}$的最高次幂；

另外${\displaystyle |0|_{p}=0}$。对任何有理数${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$，设${\displaystyle \left|{\frac {a}{b}}\right|_{p}={\frac {|a|_{p}}{|b|_{p}}}}$。

则${\displaystyle d_{p}\left(x,y\right)=|x-y|_{p}}$在${\displaystyle \mathbb {Q} }$上定义了一个度量。

度量空间${\displaystyle \left(\mathbb {Q} ,d_{p}\right)}$不完备，它的完备集是p进数域${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$。

参见

• 浮点数
• 尼云定理

参考文献

1. 三平方の定理 (ピタゴラスの定理) の歴史 - 何ゆえ有理数と呼ぶか ? - 名前の由来 -. asait.world.coocan.jp. [2020-10-09]. （原始内容存档于2016-01-12）.
2. Oxford English Dictionary 2nd. Oxford University Press. 1989. Entry ratio, n., sense 2.a.
3. Oxford English Dictionary 2nd. Oxford University Press. 1989. Entry rational, a. (adv.) and n.¹, sense 5.a.
4. 菲赫金哥尔茨; 杨弢亮 译; 叶彦谦 译; 郭思旭 校. 微积分学教程（第一卷） 第8版. 高等教育出版社. : 2. ISBN 5-9221-0436-5.