单射

在数学里，单射函数（或称内射函数、嵌射函数^[1]、一对一函数，英文称injection、injective function 或 one-to-one function）为一函数，其将不同的输入值对应到不同的函数值上。更精确地说，函数f被称为是单射的，当对每一陪域内的y，存在最多一个定义域内的x使得f(x) = y。

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  单射但非满射的函数（不是双射函数）
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  单射且满射的函数（是双射函数）
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  非单射但满射的函数（不是双射函数）
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  非单射也非满射的函数（也不是双射函数）

由从X 映射至Y 的单射函数所组成的集合标记为Y^X，该符号的由来为下降阶乘幂。当X 及Y 分别为具有m 个及n 个元素的有限集合时，从X 映射至Y 的单射函数数量可以以下降阶乘幂表示为n^m。

定义

令f 为一函数，且其定义域为一集合X，若且唯若对所有于X 内的元素a 及b，当f(a) = f(b)时，a = b，则该函数为单射函数；等价地说，当a ≠ b时，f(a) ≠ f(b)。

以逻辑符号表示如下：

${\displaystyle \forall a,b\in X,\;\;f(a)=f(b)\Rightarrow a=b}$

依换质换位律，该叙述逻辑等价于

${\displaystyle \forall a,b\in X,\;\;a\neq b\Rightarrow f(a)\neq f(b)}$

例子与反例

• 对任一集合X，X上的恒等函数为单射的。
• 函数f : R → R，其定义为f(x) = 2x + 1，是单射的。
• 函数g : R → R，其定义为g(x) = x²，不是单射的，因为g(1) = 1 = g(−1)。但若将g的定义域限在非负实数[0,+∞)内，则g是单射的。
• 指数函数${\displaystyle \exp :\mathbf {R} \to \mathbf {R} ^{+}:x\mapsto \mathrm {e} ^{x}}$是单射的。
• 自然对数函数${\displaystyle \ln :(0,+\infty )\to \mathbf {R} :x\mapsto \ln {x}}$是单射的。
• 函数${\displaystyle g:\mathbf {R} \to \mathbf {R} :x\mapsto x^{3}-x}$，不是单射的，因为 g(0) = g(1)。

形象化地说，当定义域和到达域都是实数集 R时，单射函数f : R → R为一绝不会与任一水平线相交超过一点的图。

单射函数为可逆函数

具有左反函数的函数，必为单射。此处的条件（具有左反函数），比具有反函数弱：给定一函数f : X → Y，若存在一函数g : Y → X，使得对X内的每个元素x，

g(f(x)) = x，

则称g为f的左反函数，而上式也就推出f为单射函数。

相反地，每个具非空定义域的单射函数f 都会有个左反函数g^[2]。须注意的是，g 不一定会是f 的反函数，因为相反顺序的函数复合f ∘ g 不一定也会是Y 上的恒等函数。

事实上，要将一单射函数f : X → Y变成双射函数，只需要将其陪域Y替换成其值域J = f(X)就行了。亦即，令g : X → J，使其对所有X内的x，g(x) = f(x)；如此g便为满射的了。确实，f可以分解成incl_J,Yog，其中incl_J,Y是由J到Y的内含映射。

其他性质

• 若f和g皆为单射的，则f o g亦为单射的。

单射复合

• 若g o f为单射的，则f为单射的（但g不必然要是）。
• f : X → Y是单射的若且唯若当给定两函数g, h : W → X会使得f o g = f o h时，则g = h。
• 若f : X → Y为单射的且A为X的子集，则f ⁻¹(f(A)) = A。
• 若f : X → Y是单射的且A和B皆为X的子集，则f(A ∩ B) = f(A) ∩ f(B)。
• 任一函数 h : W → Y 皆可分解为 h = f o g 其中 f 是单射而 g 是满射。此分解至多差一个自然同构， f 可以设想为从 h(W) 到 Y 的内含映射。
• 若 f : X → Y 是单射，则在基数的意义下 Y 的元素数量不少于 X。
• 若 X 与 Y 皆为有限集，则 f : X → Y 是单射若且唯若它是满射。
• 内含映射总是单射。

范畴论的观点

以范畴论的语言来说，单射函数恰好是集合范畴内的单态射。

另见

• 双射
• 单射模
• 单态射
• 满射

参考资料

1. injection - 嵌射；单射 （页面存档备份，存于互联网档案馆），国家教育研究院双语词汇、学术名词暨辞书资讯网
2. Injection iff Left Inverse [单射当且仅当有左逆]. proofwiki.org. [2021-09-01]. （原始内容存档于2022-03-10） （英语）.

参考文献

• Bartle, Robert G., The Elements of Real Analysis 2nd, New York: John Wiley & Sons, 1976, ISBN 978-0-471-05464-1, p. 17 ff.
• Halmos, Paul R., Naive Set Theory, New York: Springer, 1974, ISBN 978-0-387-90092-6, p. 38 ff.

外部链接

• Earliest Uses of Some of the Words of Mathematics: entry on Injection, Surjection and Bijection has the history of Injection and related terms.（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Khan Academy – Surjective (onto) and Injective (one-to-one) functions: Introduction to surjective and injective functions （页面存档备份，存于互联网档案馆）