递进阶乘与递降阶乘

在数学中，阶乘幂（英语：Factorial power）是基于自然数数列积的一种运算，分为递进阶乘（英语：Rising factorial）和递降阶乘（英语：Falling factorial），或称上升阶乘和下降阶乘，

定义

递进阶乘与递降阶乘有多种书写方式。

由里奥·珀赫哈默尔（英语：Leo August Pochhammer）引进的珀赫哈默尔符号（Pochhammer symbol）是常用的一种，分别为${\displaystyle \ x^{(n)}}$ 与 ${\displaystyle \ (x)_{n}}$ 。

一种较为少见的写法将递进阶乘记作 ${\displaystyle \ (x)_{n}^{+}}$ 。

葛立恒、高德纳与奥伦·帕塔什尼克（英语：Oren Patashnik）在《具体数学》一书中，则引进符号 ${\displaystyle x^{\overline {n}}}$ 与 ${\displaystyle x^{\underline {n}}}$ 。

递进阶乘

在组合学和特殊函数理论中，递进阶乘用于表达上升自然数数列的积，定义为

${\displaystyle x^{\overline {n}}=x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)={\frac {(x+n-1)!}{(x-1)!}}}$

递降阶乘

在组合学中也常用递降阶乘：

${\displaystyle x^{\underline {n}}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)={\frac {x!}{(x-n)!}}}$

另外，值得一提的是递降阶乘实际上是排列 ${\displaystyle P_{n}^{x}}$，详见排列。

两者的关系

递进阶乘与递降阶乘，两者之间的关系为：

${\displaystyle x^{\overline {n}}=(x+n-1)^{\underline {n}}}$

它们与阶乘的关系为：

${\displaystyle 1^{\overline {n}}=n^{\underline {n}}=n!}$

扩展

零次幂

零次幂的递进阶乘与递降阶乘都定义为空积 1 :

${\displaystyle x^{\overline {0}}=x^{\underline {0}}=1}$ 。

实数

运用伽玛函数，阶乘幂的定义域可以扩展到实数。

递进阶乘的定义变为

${\displaystyle x^{\overline {n}}={\frac {\Gamma (x+n)}{\Gamma (x)}}\quad x,x+n\neq 0,-1,-2,\cdots }$

递降阶乘则为

${\displaystyle x^{\underline {n}}={\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x-n+1)}}\quad x,x+n\neq -1,-2,-3,\cdots }$

特性

递进阶乘与递降阶乘都能以二项式系数形式表达：

${\displaystyle {\frac {x^{\overline {n}}}{n!}}={x+n-1 \choose n}}$

${\displaystyle {\frac {x^{\underline {n}}}{n!}}={x \choose n}}$

于是二项式系数适用的许多性质都适用于递进阶乘与递降阶乘。

显然，递进阶乘与递降阶乘作为 n 个连续整数的积，它定能被 n 整除，即

${\displaystyle n|x^{\overline {n}}}$ ；

${\displaystyle n|x^{\underline {n}}}$ 。

当 n=4 ，递进阶乘与递降阶乘必定能表达为一个完全平方数减1，即

${\displaystyle x^{\overline {4}}=k^{2}-1}$；

${\displaystyle x^{\underline {4}}=k^{2}-1}$ 。

递进阶乘与递降阶乘遵从一个类似二项式定理的规则:

${\displaystyle (a+b)^{\overline {n}}=\sum _{r=0}^{n}{n \choose r}a^{\overline {n-r}}b^{\overline {r}}}$

${\displaystyle (a+b)^{\underline {n}}=\sum _{r=0}^{n}{n \choose r}a^{\underline {n-r}}b^{\underline {r}}}$

其中系数为二项式系数。

因为递降阶乘是多项式环的基础，我们可以将递降阶乘的积表示为递降阶乘的线性组合：

${\displaystyle x^{\underline {m}}x^{\underline {n}}=\sum _{k=0}^{m}{m \choose k}{n \choose k}k!\,x^{\underline {m+n-k}}}$

等式右边的系数则为二项式系数。

一般化

阶乘幂能一般化至任意函数和公差：

${\displaystyle [f(x)]^{k/h}=f(x)\cdot f(x+h)\cdot f(x+2h)\cdots f(x+(k-1)h)}$

${\displaystyle [f(x)]^{k/-h}=f(x)\cdot f(x-h)\cdot f(x-2h)\cdots f(x-(k-1)h)}$

使用这个记号，原来的递进阶乘与递降阶乘便记作 ${\displaystyle [x]^{k/1}}$ 和 ${\displaystyle [x]^{k/-1}}$ 。

与亚微积分的关系

差分方程里常使用递降阶乘。其应用与微积分学中的泰勒定理非常相似，不过将微分替换为对应的差分。只是在差分中，递降阶乘 ${\displaystyle x^{\underline {k}}}$ 替代微分中的 ${\displaystyle x^{k}}$ 例如：

${\displaystyle \Delta x^{\underline {k}}=kx^{\underline {k-1}}\,}$

与

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}{x^{k}}=kx^{k-1}\,}$

这种相似性在数学中称为亚微积分。亚微积分涵盖如多项式的二项式型和谢费尔序列。

程序实现

Mathematica

${\displaystyle {\text{Pochhammer}}[x,n]=x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)={\frac {(x+n-1)!}{(x-1)!}}}$^[1]

参考文献

• Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren E., Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science, 1988, ISBN 0-201-14236-8.
• Olver, Peter J., Classical Invariant Theory, Cambridge University Press, 1999, ISBN 0521558212.

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. Pochhammer Symbol. MathWorld.
• Elementary Proofs （页面存档备份，存于互联网档案馆）

1. Pochhammer—Wolfram 语言参考资料. reference.wolfram.com. [2022-08-23].