多项式环

在抽象代数中，多项式环推广了初等数学中的多项式。一个环 ${\displaystyle R}$ 上的多项式环是由系数在 ${\displaystyle R}$ 中的多项式构成的环，其中的代数运算由多项式的乘法与加法定义。在范畴论的语言中，当 ${\displaystyle R}$ 为交换环时，多项式环可以被刻划为交换 ${\displaystyle R}$-代数范畴中的自由对象。

定义

多项式函数与多项式

在初等数学与微积分中，多项式视同多项式函数，两者在一般的域或环上则有区别。举例言之，考虑有限域 ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}:=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ 上的多项式

${\displaystyle P(X)=X^{2}+X}$

此多项式代任何值皆零，故给出零函数，但其形式表法非零。

我们宁愿将多项式看作形式的符号组合，以得到较便利的代数理论。且考虑多项式在域扩张之下的性质：就函数观点，多项式函数在域扩张下的行为颇复杂，上述 ${\displaystyle P(X)}$ 给出 ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$ 上的零函数，但视为 ${\displaystyle \mathbb {F} _{4}}$ 上的多项式函数则非零；而就形式观点，只须将系数嵌入扩张域即可。

形式定义

于是我们采取下述定义：令 ${\displaystyle R}$ 为环。一个单变元 ${\displaystyle X}$ 的多项式 ${\displaystyle P(X)}$ 定义为下述形式化的表法：

${\displaystyle P(X)=a_{m}X^{m}+a_{m-1}X^{m-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}}$

其中 ${\displaystyle a_{i}}$ 属于 ${\displaystyle R}$，称作 ${\displaystyle X^{i}}$ 的系数，而 ${\displaystyle X}$ 视作一个形式符号。两多项式相等若且唯若每个 ${\displaystyle X^{i}}$ 的系数均相同。次数最大的非零系数称为该多项式的领导系数，或者首项系数。

更严谨的说法或许是将多项式定义为系数的序列 ${\displaystyle a=(a_{n})_{n\geq 0}}$，使得其中仅有有限项非零。但是我们在实践上总是用变元 ${\displaystyle X}$ 及其幂次表达。

多项式的运算

以下固定环 ${\displaystyle R}$，我们将推广初等数学中熟悉的多项式运算。

环结构

多项式的加法由系数逐项相加定义，而乘法则由下列法则唯一地确定：

• 分配律：对所有 ${\displaystyle R}$ 上的多项式 ${\displaystyle P(X),Q(X),R(X)}$，恒有

${\displaystyle (P(X)+Q(X))\cdot R(X)=P(X)R(X)+Q(X)R(X)}$

${\displaystyle R(X)\cdot (P(X)+Q(X))=R(X)P(X)+R(X)Q(X)}$

• 对所有 ${\displaystyle a\in R}$，有 ${\displaystyle X\,a=a\,X}$
• 对所有非负整数 ${\displaystyle k,l}$，有 ${\displaystyle X^{k}\cdot X^{l}=X^{k+l}}$

运算的具体表法如下：

• ${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}+\sum _{i=0}^{n}b_{i}X^{i}=\sum _{i=0}^{n}(a_{i}+b_{i})X^{i}}$
• ${\displaystyle \left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}\right)\left(\sum _{j=0}^{m}b_{j}X^{j}\right)=\sum _{k=0}^{m+n}\left(\sum _{\mu +\nu =k}a_{\mu }b_{\nu }\right)X^{k}}$

当 ${\displaystyle R}$ 是交换环时，${\displaystyle R[X]}$ 是个 ${\displaystyle R}$ 上的代数。

多项式的合成

设 ${\displaystyle P(X)=\sum a_{i}X^{i}}$ 而 ${\displaystyle Q(X)}$ 为另一多项式，则可定义两者的合成为

${\displaystyle (P\circ Q)(X):=\sum _{i}a_{i}Q(X)^{i}}$

求值

对于任一多项式 ${\displaystyle P(X)=\sum a_{i}X^{i}}$ 及 ${\displaystyle r\in R}$，我们可考虑 ${\displaystyle P(X)}$ 对 ${\displaystyle r}$ 的求值：

${\displaystyle s_{r}(P):=\sum _{i}a_{i}r^{i}}$

固定 ${\displaystyle r\in R}$，则得到一个环同态 ${\displaystyle s_{r}:R[X]\rightarrow R}$，称作求值同态；此外它还满足

${\displaystyle s_{r}(P\circ Q)=s_{s_{r}(Q)}(P)}$

导数

在微积分中，多项式的微分由微分法则 ${\displaystyle (x^{k})'=kx^{k-1}}$ 确定。虽然一般的环上既无拓扑结构更无完备性，我们仍然可形式地定义多项式的导数为：

${\displaystyle P(X)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}}$

${\displaystyle \Rightarrow P(X)':=\sum _{i=0}^{n}ia_{i}X^{i-1}}$

这种导数依然满足 ${\displaystyle (PQ)'=P'Q+PQ'}$ 与 ${\displaystyle (P+Q)'=P'+Q'}$ 等性质。对于系数在域上的多项式，导数也可以判定重根存在与否。

多变元的情形

上述定义可以推广到任意个变元（包括无限个变元）的情形。对于有限变元的多项式环 ${\displaystyle R[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$，也可以采下述构造：

先考虑两个变元 ${\displaystyle X,Y}$ 的例子，我们可以先构造多项式环 ${\displaystyle R[X]}$，其次构造 ${\displaystyle (R[X])[Y]}$。可以证明有自然同构 ${\displaystyle (R[X])[Y]\cong R[X,Y]}$，例如多项式

${\displaystyle P(X,Y)=X^{2}Y^{2}+4XY^{2}+5X^{3}-8Y^{2}+6XY-2Y+7\in R[X,Y]}$

也可以视作

${\displaystyle (X^{2}+4X-8)Y^{2}+(6X-2)Y+(5X^{3}+7)\in (R[X])[Y]}$

对 ${\displaystyle (R[Y])[X]}$亦同。超过两个变元的情形可依此类推。

性质

• 若 R 是域，则 ${\displaystyle R[X]}$ 是主理想环（事实上还是个欧几里得整环）。
• 若 R 是唯一分解环，则 ${\displaystyle R[X]}$ 亦然。
• 若 R 是整环，则 ${\displaystyle R[X]}$ 亦然。
• 若 R 是诺特环，则 ${\displaystyle R[X]}$ 亦然；这是希尔伯特基底定理的内容。
• 任一个交换环 ${\displaystyle R}$ 上的有限生成代数皆可表成某个 ${\displaystyle R[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ 的商环。

在数学中的角色

多项式环对理想的商是构造环的重要技术。例子包括从同馀系 ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$构造有限域，或从实数构造复数等等。

弗罗贝尼乌斯多项式是另一个跟多项式环相关的环，此环的乘法系采用多项式的合成而非乘法。