超复数是复数在抽象代数中的引申,通常是实数域上某个有限维的单位代数的元素。19世纪后期对超复数的研究,成为现代群表示论的根基。
此种代数举例如下:
Kantor & Solodovnikov (1989)定义超复数为实域上某个有限维代数的元素,而该代数要有单位,但无需可结合或可交换。[12] 该些元素可以写成一组基
的线性组合,其中系数为实数
,而基的大小
称为该代数的维数。若可行,一般将基正规化,即选取
使
。下节先考虑二维超复数(即
)。
关于二维实代数有以下定理:[6]:14,15[13][14]在同构意义下,实域上的二维单位代数恰有3个:复数系、双曲复数系、二元数系。于是,实域上的所有二维单位代数皆可结合和可交换。
下段简述定理的证明。
因为给定的代数是二维,可选一组基
。因为代数对乘法封闭,
的平方仍是代数的元素,故可写成线性组合:
![{\displaystyle u^{2}=a_{0}+a_{1}u,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc5953b27ffaf6c927e8300c757b74c720308b8e)
其中
为实系数。
运用常见的配方法,两边减走
并加上
,得:
![{\displaystyle u^{2}-a_{1}u+{\frac {a_{1}^{2}}{4}}=a_{0}+{\frac {a_{1}^{2}}{4}}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4eb9a0b9fbb663b2a01dcb965abc7d7076770bdf)
所以
,其中
是实数。
取决于此实数值,分别有三种情况:
- 若
,则上式变成
。于是,
可视为二元数的基
中的幂零元
。
- 若
,则有
。双曲复数的标准基
满足
,故若除
以正实数
(其平方与
平方相等),得到的结果即可视为
。
- 若
,则有
。平常复数的标准基
满足
,故若除
以正实数
(其平方与
平方互为相反数),得到的结果即可视为
。
从而定理成立。
复数系是以上三个二维实代数中唯一一个域。若代数具有1的非实平方根
(如双曲复数),则也有幂等元
和零因子(因为
),故此种代数必不为除代数。然而,此种性质有时很有用,例如双曲复数适用于描述狭义相对论的劳仑兹变换。
《数学杂志》在2004年的某版中,称二维实代数为“广义复数”(generalized complex numbers)。[15]四个复数交比的概念也可以推广到其他二维实代数。[16]
克里福代数是由赋有二次型的向量空间所生成的单位结合代数。在实域上,其等价于可以定义对称纯量积
,正交化该二次型,以得到基
,满足:
![{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(e_{i}e_{j}+e_{j}e_{i})=\left\{{\begin{matrix}-1,0,+1,&i=j,\\0,&i\not =j.\end{matrix}}\right.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0b3863184babbaa4acba8621e8f68465f2e35c2)
由乘法封闭性,该向量空间的基相乘得到
个克里福数,即
,皆为克里福代数的元素,且组成该代数的基(不同于原向量空间的基),可视为一个超复数系的基。与原向量空间的基
不同,该代数的其他基元素不一定反交换,而是取决于将两个因子对调时,会交换的简单因子(即
)有奇数对抑或偶数对。所以,
,但
。
若不允许
(即二次型非退化),则馀下的克里福代数可记为
,表示其为
个满足
的简单基元和
个满足
的简单基元生成的代数,而括号内的
指明此为实域上的克里福代数,即元素的系数为实数。
该些代数称为几何代数,组成有规律的一族。该族代数适用于描述转动、相位、自旋,因此在古典和量子力学、电磁学、相对论方面很有用。
此族代数包括:复数系
、双曲复数系
,四元数系
、分裂复四元数系
、分裂四元数系
(二维空间生成的自然代数)、
(三维空间生成的自然代数,也是包立矩阵生成的代数)、时空代数
。
代数
可以视为代数
的偶子代数
,从而可用作描述
中的旋转。因此,复数密切关系二维空间的旋转,四元数密切关系三维空间的旋转,双曲复数密切关系1+1维时空的双曲旋转(洛仑兹变换),馀可类推。
虽然八维或以上时,凯莱-迪克森结构和分裂复数构造的乘法不可结合,任意维数的克里福代数皆可结合。
1995年,伊恩·波蒂厄斯有关克里福代数的书中,论及“子代数的辨认”。其命题11.4总结超复数的情况:[17]
- 设
为实结合代数,且具有单位元
。则
生成
(实子代数),
- 若
是任何满足
的元素,则其生成的二维子代数与
同构(复子代数),
- 若
是任何满足
的元素,则其生成的二维子代数与
同构(此处
是实二元组的集合,其上的乘法是逐个分量相乘。该代数与双曲复代数同构),
- 若
,且
反交换,则
生成的四维子代数同构于
(四元数代数),
- 若
,且
反交换,则
生成的四维子代数同构于
(元素为
实矩阵,或分裂四元数),
- 若
,且
两两反交换,则其生成的八维子代数同构于
(分裂复四元数代数),
- 若
,且
两两反交换,则其生成的八维子代数同构于
(元素为
复矩阵,亦可视为复四元数或包立代数)。
超出该些古典代数的延伸,见克里福代数的分类。
撇除实数系、复数系、四元数系不计,其他克里福代数
皆含有平方为
的非实数,故不能为除代数。凯莱-迪克森构造是另一个扩展复数系的方法,其给出维数为
的数系,该些数系的基
满足:所有非实的基元两两反交换,且
。在8维或以上时(即
),该些代数不可结合,而在16维或以上时(即
),该些代数有零因子。
此构造得到的前几个代数是4维的四元数系、8维的八元数系、16维的十六元数系。随维数上升,其代数结构的对称性逐一失去:四元数乘法不可交换,八元数乘法不可结合,而十六元数的范数不具积性。
凯莱-迪克森构造的某些步骤中,若插入额外的符号,则得到复合代数中的“分裂代数”,而非除代数:
- 分裂复数系:有基
,满足
,
- 分裂四元数系:有基
,满足
,
- 分裂八元数系:有基
,满足
,
。
与复数系不同,分裂复数系并非代数闭,甚至包含非平凡的零因子和幂等元。与四元数系类似,分裂四元数系亦不可交换,但同时还含有幂零元。分裂四元数与二阶方阵的代数同构。分裂八元数系不可结合,也含有幂零元。
- 多重复数:其组成复域上的
维向量空间。
- 复合代数:赋有二次型的代数,其中二次型与乘法可互换次序。
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