Loading AI tools
З Вікіпедії, вільної енциклопедії
Спря́жені функтори — пара функторів, що перебувають у певному співвідношенні між собою. Спряжені функтори часто зустрічаються в різноманітних галузях математики.
Неформально, функтори F і G є спряженими, якщо вони задовольняють співвідношенню . Тоді F називається лівим спряженим функтором, а G — правим.
Спряжені функтори — один з ключових інструментів теорії категорій, багато важливих математичних конструкцій можна описати як спряжені функтори. В результаті із загальних теорем про спряжені функтори, таких як еквівалентність різних означень, і з того факту, що праві спряжені функтори комутують з границями (а ліві — з кограницями), можуть негайно випливати доведення багатьох цікавих результатів.
Можна сказати, що спряжений функтор є способом вказівки найбільш ефективного розв'язку певної задачі за допомогою стандартного методу. Наприклад, елементарна проблема з теорії кілець — вкладення кільця без одиниці у кільце з одиницею. Найбільш ефективним способом це зробити є додавання в кільце одиниці, всіх елементів, необхідних для виконання аксіом кільця (наприклад, елементи типу r + 1, де r — елемент кільця) без припущення якихось співвідношень в новому кільці, які не потрібні для виконання аксіом. Ця конструкція є стандартною в тому сенсі, що вона працює для будь-якого кільця без одиниці.
Наведений вище опис є дуже розпливчастим але його можна зробити точним, використовуючи мову теорії категорій: конструкція є «найбільш ефективною», якщо вона задовольняє універсальні властивості, і «стандартною» в тому сенсі, що вона задає функтор. Універсальні властивості діляться на початкові і термінальні і оскільки ці поняття є двоїстими, досить розглянути одне з них.
Ідея використання початкової властивості полягає в тому щоб сформулювати проблему в термінах такої допоміжної категорії E, щоб залишилося лише знайти початковий об'єкт E. Таке формулювання має ту перевагу, що завдання «знаходження найбільш ефективного розв'язку» стає чітким і в якомусь сенсі подібним до завданням знаходження екстремуму. Для вибору правильної категорії E іноді потрібно підбирати непрості прийоми: у випадку півкільця R потрібна категорія — це категорія, об'єкти якої — гомоморфізми кілець R → S, де S — деяке кільце з одиницею. Морфізм в E між R → S1 і R → S2 — комутативні трикутники виду ( R → S1 , R → S2, S1 → S2), де S1 → S2 — гомоморфізм кілець. Існування морфізма між R → S 1 і R → S2 означає, що S1 є не менш ефективним розв'язком задачі, ніж S2 : S2 має більше доданих елементів і (або) більше співвідношень між ними, ніж S1.
Метод визначає «найбільш ефективний» і «стандартний» розв'язок задач, якщо він задає спряжені функтори.
Існують кілька еквівалентних означень спряжених функторів. Їх еквівалентність є елементарною але не тривіальною.
Означення за допомогою універсальної стрілки [⇨] легко сформулювати, воно також найближче до інтуїції з приводу «оптимізаційної задачі».
Означення за допомогою одиниці і коодиниці [⇨] є зручно для функторів, часто зустрічаються в алгебрі, тому що використовує формули, які можна перевірити безпосередньо.
Означення за допомогою множин Hom [⇨] робить очевидною симетричність означення і прояснює причини для через які функтори називаються «спряженими».
Функтор F: C ← D називається лівим спряженим функтором, якщо для кожного об'єкта X категорії C існує термінальна стрілка εX з F у X. Якщо для кожного X у C вибрати об'єкт G0 X у D, для якого визначена термінальна стрілка εX : F(G0 X) → X, то існує єдиний функтор G: C → D , такий, що GX = G0 X і для будь-якого морфізма в категорії C f: X → X' виконується ε X' ∘ FG(f) = f ∘ εX; F тоді називають лівим спряженим до функтора G.
Функтор G: C → D називається правим спряженим функтором, якщо для кожного об'єкта Y категорії D існує початкова стрілка з Y у G. Якщо для кожного Y у D вибрати об'єкт F 0 Y у C, такий, що визначена початкова стрілка η Y: Y → G (F0 Y) з Y в G, то існує єдиний функтор F: C ← D, такий, що FY = F0 Y і GF(g) ∘ η Y = ηY' ∘ g для g: Y → Y' — морфізма у D; G тоді називають правим спряженим до функтора F.
Функтор F є лівим спряженим для G тоді і тільки тоді, коли G є правим спряженим для F. Однак це не очевидно з означення через універсальну стрілку але очевидно завдяки означенню через одиницю і коодиницю.
Для задання одиниці і коодиниці в категоріях C і D потрібно зафіксувати два функтори F: C ← D, G: C → D і два натуральні перетворення:
що називаються відповідно коодиницею і одиницею спряження, таких, що композиції
є тотожними перетвореннями 1F і 1G функторів F і G відповідно.
У такій ситуації F є лівим спряженим для G і G є правим спряженим для F. Іноді це відношення позначають або просто .
У формі рівнянь наведені вище умови на (ε, η) називаються рівняннями коодиниці і одиниці:
Розглянемо два функтори F: C ← D і G: C → D . Нехай існує натуральний ізоморфізм:
Він визначає сім'ю бієкцій:
для всіх об'єктів X у C і Y у D .
Тут F називається лівим спряженим для G і G — правим спряженим для F.
Щоб зрозуміти, що мається на увазі під натуральністю Φ, потрібно пояснити, яким чином homC(F -, -) і homD(-, G -) є функторами. Насправді, вони обидва є біфункторами з Dop×C у Set. В явному вигляді натуральність Φ означає, що для всіх морфізмів f: X → X' у C і морфізма g:Y' → Y у D діаграма нижче комутує:
Вертикальні стрілки на діаграмі породжуються композиціями морфізмів. Наприклад, для h у HomC(FY, X) за означенням Hom(Fg, f) : HomC(FY, X) → HomC(FY′, X′) задається як h → f o h o Fg . Подібним є і означення Hom(g, Gf).
В інший спосіб можна описати натуральність так, що для всіх об'єктів X, X' у C і Y, Y' у D, для всіх морфізмів h у HomC(FY, X) і f: X → X'
і для всіх морфізмів j у HomC(Y , GX) і g: Y' → Y:
Конструкція вільної групи є зручним прикладом для прояснення суті означень. Нехай F: Grp ← Set — функтор, який множині Y зіставляє вільну групу, породжену елементами Y, і G: Grp → Set — забуваючий функтор, що зіставляє групі X її множину-носій. Тоді F — лівий спряжений для G:
Термінальні стрілки: для кожної групи X, група FGX — вільна група, породжена елементами X як множиною. Нехай — гомоморфізм груп, який переводить породжуючі елементи FGX у відповідні елементи X. Тоді — термінальний морфізм з F у X, тому що будь-який гомоморфізм з вільної групи FZ в X розкладається через за допомогою єдиної функції з множини Z в множину X. Це означає, що (F, G) — пара спряжених функторів.
Множині Hom відображення з вільної групи FY у групу X однозначно відповідають відображенням множини Y у множину GX: кожен гомоморфізм однозначно визначається своїми значеннями на породжуючих елементах вільної групи. Прямим обчисленням можна перевірити, що ця відповідність — натуральне перетворення, а тому, пара (F, G) є спряженою.
Не кожен функтор G: C → D має лівий або правий спряжений. Якщо C — повна категорія, то згідно теореми про спряжені функтори Петера Фрейда G має лівий спряжений тоді і тільки тоді, коли для будь-якого Y з категорії D існує сім'я морфізмів:
де індекси i пробігають множина I, таке, що будь-який морфізм:
може бути записаний як:
для деякого i e I і деякого морфізма:
Аналогічне твердження характеризує функтори, що мають правий спряжений.
Якщо функтор F: C ← D має два правих спряжених G і G' , то G' і G є натурально ізоморфними.
Навпаки, якщо F є спряженим зліва до G, і G натурально ізоморфний G' , то F також є спряженим зліва до G '.
Для спряжень можна ввести композиції. Якщо <F, G, ε, η> — спряження між C і D , і <F',G' , ε ', η'> — спряження між D і E, то функтор
є спряженим зліва до функтора
Можна утворити категорію, об'єктами якої є всі малі категорії, а морфізмами — спряження.
Найбільш важлива властивість спряжених функторів — їх неперервність: кожний функтор, що має лівий спряжений (тобто є правим спряженим), комутує з границями в категорному сенсі. Відповідно, функтор, що має правий спряжений, є конеперервним, тобто комутує з кограницями. Оскільки багато конструкцій є границями або кограницями, з цього відразу випливає кілька наслідків. Наприклад:
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.