Категорія (математика)

Категорія у математиці — це алгебраїчна структура подібна до групи, але від якої не вимагається властивість обернення або замикання. Вона містить «об'єкти», що сполучаються «стрілками». Категорія має дві основні властивості: можливість компонувати стрілки асоціативним чином і існування стрілки тотожності для кожного об'єкта. Простим прикладом категорії для множин, об'єктами якої є множини, а стрілки позначають функції.

Це приклад категорії із колекцією об'єктів A, B, C і колекцією морфізмів, що позначена f, g, g ∘ f, а петлі є стрілками тотожності.

Теорія категорій — це гілка математики, яка досліджує і узагальнює усю математику в термінах категорій, незалежно від того що собою представляють стрілки. Практично кожну галузь сучасної математики можна описати в термінах категорій, і часто це дозволяє виявити глибокі закономірності і подібність між, з першого погляду різними, галузями математики. Як така, теорія категорій утворює в математиці альтернативну основу для теорії множин та інших аксіоматично побудованих основ. В загальному випадку, об'єкти і стрілки можуть бути будь-якими абстрактними поняттями, і така нотація категорій дозволяє мати фундаментальний абстрактний спосіб описати математичні сутності і їх зв'язки.

Крім математики, теорія категорій використовується для формалізації багато інших систем в комп'ютерних науках, наприклад для описання семантики мов програмування.

Дві категорії є однаковими якщо вони мають однакову колекцію об'єктів, однакову колекцію стрілок, і однаковий асоціативний метод утворення будь-якої пари стрілок. Дві різні категорії також можуть бути «еквівалентними» в рамках теорії категорій, навіть якщо вони не мають точно однакової структури.

Існує ряд добре відомих категорій, які можуть мати загальні назви і скорочення описанні жирним шрифтом: наприклад Set — категорія множин і функцій; Ring^[en] — категорія кілець і їх гомоморфізмів; і Top^[en] — категорія топологічних просторів і неперервних відображень. Всі наведені категорії мають тотожне відображення, що є стрілкою тотожності і композицію, що є асоціативною операцією над стрілками.

Будь-який моноїд можна розуміти як особливий вид категорій (з одним єдиним об'єктом чиї самоморфізми представлені елементами моноїда), що може мати будь-який передпорядок.

Історія

Теорія категорій вперше з'явилася в статі під назвою «General Theory of Natural Equivalences», написаній Самуелем Ейленбергом^[en] та Сандерсом мак Лейном^[en] в 1945.^[1]

Визначення

Існує декілька еквівалентних визначень поняття категорії.^[2] Одним із найчастіше вживаних визначень є наступне. Категорія C складається з

• класу об'єктів ob(C)
• класу hom(C) морфізмів, або стрілок, або функцій відображення, між об'єктами. Кожен морфізм f має вхідний об'єкт a і вихідний об'єкт b де a і b знаходяться в класі ob(C). Прийнято записувати f: a → b, що озвучують як, те що «f є морфізмом із a у b». Прийнято записувати hom(a, b) (або hom_C(a, b) якщо може бути неоднозначність щодо того, до якої категорії відноситься hom(a, b)) аби позначити hom-class всіх морфізмів із a у b. (Деякі автори позначають як Mor(a, b) або просто C(a, b).)
• для будь-яких трьох об'єктів a, b і c, бінарна операція hom(a, b) × hom(b, c) → hom(a, c) називається композицією морфізмів; композиція із f : a → b і g : b → c буде записуватися як g ∘ f або gf.

такі, для яких виконуються наступні аксіоми:

• (Асоціативність) якщо f : a → b, g : b → c і h : c → d тоді h ∘ (g ∘ f) = (h ∘ g) ∘ f, і
• (Тотожність) для кожного об'єкту x, існує морфізм 1_x : x → x (іноді позначають як id_x), що називається морфізмом тотожності для x, такий що для кожного морфізму f : a → x і кожного морфізму g : x → b, ми матимемо 1_x ∘ f = f і g ∘ 1_x = g.

Великі і малі категорії

Категорія C називається малою, якщо ob(C) і hom(C) насправді є множинами, а не класами, а великі навпаки.

Примітки

1. S. Eilenberg and S. Mac Lane «General Theory of Natural Equivalences», Transactions of The American Mathematical Society 01/1945; 58(2):231-231. DOI:10.2307/1990284
2. Barr & Wells, Chapter 1.

Література

• Adámek, Jiří; Herrlich, Horst; Strecker, George E. (1990), Abstract and Concrete Categories (PDF), John Wiley & Sons, ISBN 0-471-60922-6, архів оригіналу (PDF) за 21 квітня 2015, процитовано 7 лютого 2018 (now free on-line edition, GNU FDL).
• Asperti, Andrea; Longo, Giuseppe (1991), Categories, Types and Structures (PDF), MIT Press, ISBN 0-262-01125-5.
• Awodey, Steve (2006), Category theory, Oxford logic guides, т. 49, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-856861-2.
• Barr, Michael; Wells, Charles (2005), Toposes, Triples and Theories, Reprints in Theory and Applications of Categories, т. 12 (вид. revised), MR 2178101, архів оригіналу за 7 лютого 2018, процитовано 7 лютого 2018.
• Borceux, Francis (1994), Handbook of Categorical Algebra, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, т. 50—52, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-06119-9.
• Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), Category, Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Herrlich, Horst; Strecker, George E. (2007), Category Theory, Heldermann Verlag.
• Jacobson, Nathan (2009), Basic algebra (вид. 2nd), Dover, ISBN 978-0-486-47187-7.
• Lawvere, William; Schanuel, Steve (1997), Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-47249-0.
• Mac Lane, Saunders (1998), Categories for the Working Mathematician, Graduate Texts in Mathematics 5 (вид. 2nd), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98403-8.
• Marquis, Jean-Pierre (2006), Category Theory, у Zalta, Edward N. (ред.), Stanford Encyclopedia of Philosophy, архів оригіналу за 21 листопада 2021, процитовано 7 лютого 2018.
• Sica, Giandomenico (2006), What is category theory?, Advanced studies in mathematics and logic, т. 3, Polimetrica, ISBN 978-88-7699-031-1.