Loading AI tools
З Вікіпедії, вільної енциклопедії
Моноїд — це алгебрична структура з бінарною операцією, що є асоціативною та має нейтральний елемент. Стисліше, моноїд — це напівгрупа з нейтральним елементом.
Якщо для всіх елементів моноїда існує обернений елемент тоді це група.
Моноїд — це множина , разом із двомісною операцією “”, яка задовольняє трьом наступним аксіомам:
І в математичному записі ми можемо записати це так
Символ двомісної операції часто опускається; наприклад, аксіоми моноїда вимагають і . Двомісна операція традиційно називається множенням, але може реалізовуватися будь-якою.
Підмоноїдом моноїда є підмножина N із М, замкнута відносно моноїдної операції і така, що містить нейтральний елемент e із M. В символьному записі, N є підмоноїдом М, якщо , якщо , і . В цьому випадку N є моноїдом за двомісною операцією, успадкованою від М.
З іншого боку, якщо N є підмножиною моноїду, замкнутою щодо моноїдної операції, та є моноїдом щодо цієї успадкованої операції, то N не завжди буде підмоноїдом, оскільки нейтральний елемент може бути іншим. Наприклад, синглетон {0} замкнутий щодо алгебраїчного множення, але він не є підмоноїдом (мультиплікативного) моноїду невід’ємних цілих чисел: тут нейтральним елементом буде 1.
Підмножина S із М породжує М, якщо найменший підмоноїд М, що містить S, є самим М. Якщо моноїд М може бути породженим скінченною множиною, він називається скінченно породженим моноїдом.
Моноїд, операція якого комутативна, називається комутативним (або, рідше, за аналогією з групами, абелевим). Операцію комутативного моноїда часто позначають як додавання. Будь-який комутативний моноїд наділений алгебраїчним передпорядком , визначеним так, що , якщо існує z такий, що . Порядковою одиницею комутативного моноїда М є такий елемент u із М, що для будь-якого елемента х із М у множині, породженій u, існує елемент v такий, що . Це часто має місце, коли М є додатним конусом частково впорядкованої абелевої групи G, в цьому випадку u називають порядковою одиницею G.
Моноїд, операція якого є комутативною лише для деяких, але не для всіх елементів, називають слідовим моноїдом. Слідові моноїди часто зустрічаються в теорії паралельних обчислень.
Це незавершена стаття з математики. Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її. |
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.