Загальна теорія відносності

Загальна теорія відносності, загальна теорія відносности^[3][4] (ЗТВ) — теорія гравітації, опублікована Альбертом Ейнштейном в 1916 році. На відміну від нерелятивістської теорії гравітації Ньютона загальна теорія відносності придатна для опису гравітаційної взаємодії тіл, що рухаються зі швидкостями близькими до швидкості світла. Її також можна застосовувати у випадку сильних гравітаційних полів, що виникають, наприклад, поблизу нейтронних зір та чорних дір. У Сонячній системі ефекти загальної теорії відносності проявляють себе незначними відхиленнями фактичних траєкторій руху планет та інших космічних тіл (у першу чергу Меркурія) від орбіт, розрахованих у межах теорії Ньютона.

Загальна теорія відносності
Дата створення / заснування	1916
Коротка назва	GR, GTR, ART, 一般相対論, OTW, ОТО, АТА, OTR, ART, ДСТ, OTR, VTR, STR, ОТР, OTR, VRT, ОТО, OTR і ЗТВ
Першовідкривач або винахідник	Альберт Ейнштейн[1][2]
Місце створення	Берлін
Загальна теорія відносності у Вікісховищі

Попри існування альтернативних теорій гравітації, загальна теорія відносності є загальноприйнятою в сучасній фізиці. Вона знайшла застосування в фізичній космології, яка пояснює еволюцію Всесвіту. Висновки теорії підтверджені низкою експериментальних спостережень. Однак, на відміну від спеціальної теорії відносності, спроби об'єднання загальної теорії відносності з квантовою механікою з побудовою теорії квантової гравітації досі (станом на лютий 2022) не мали успіху.

Історія

Альберт Ейнштейн опублікував спеціальну теорію відносності 1905 року, а з 1907 року почав роздуми над описом вільного падіння. Одне із досліджень теорії проводилось в серпні 1914 року в Броварах за участю американського астронома Вільяма Воллеса Кемпбелла.

Після тривалої роботи в листопаді 1915 він зробив доповідь на засіданні Прусської академії наук, в якій сформулював рівняння для визначення гравітаційного поля, що відомі як рівняння Ейнштейна. Рівняння Ейнштейна дуже важко розв'язати, тому Ейнштейн у своїх працях застосовував наближені розв'язки.

Але вже 1916 року Карл Шварцшильд запропонував перший точний нетривіальний розв'язок сферично-симетричного гравітаційного поля, відомий як метрика Шварцшильда. Наступного року Ейнштейн застосував знайдений розв'язок для опису Всесвіту, і щоб отримати стаціонарний розв'язок, який відповідав тодішнім уявленням, доповнив рівняння членом із космологічною сталою. Однак, упродовж 1920-х завдяки роботам Едвіна Габбла та інших астрономів, стало зрозуміло, що Всесвіт розширюється. Розширення Всесвіту описує теорія Олександра Фрідмана, запропонована 1922 року.

1919 року Артур Еддінгтон, спостерігаючи за небом навколо сонячного диску під час сонячного затемнення, виявив зсув зір зі своїх звичних положень, що свідчило на користь викривлення траєкторії світлових променів поблизу масивних тіл. Це відкриття негайно принесло Ейнштейну світову славу^[5]. Однак, повне визнання серед науковців загальна теорія відносності здобула лише в 1960-х роках, коли фізики ідентифікували квазари як галактики з чорними дірами в центрі. Також стала можливою перевірка окремих передбачень теорії, наприклад, гравітаційного червоного зміщення, в земних умовах.

Вступ

Концептуальне ядро загальної теорії відносності, з якого випливає більшість її висновків — принцип еквівалентності, який постулює, що гравітація та прискорення — це еквівалентні фізичні явища, тобто

Не існує такого фізичного експерименту, який би міг локально відрізнити дію на спостерігача однорідного гравітаційного поля від рівноприскореного руху системи відліку, у якій перебуває цей спостерігач.

Цей принцип пояснює, чому експериментальні вимірювання гравітаційної та інертної мас доводять їхню еквівалентність. Це твердження стало основою багатьох відкриттів, таких як гравітаційний червоний зсув, викривлення променів світла поблизу великих гравітаційних мас (таких як зорі), чорні діри, уповільнення часу в гравітаційному полі тощо. Але з принципу еквівалентності не випливає єдиність рівнянь викривленого простору-часу, і це зокрема призвело до появи так званої космологічної сталої, яка фігурує в деяких теоріях.

Модифікації закону всесвітнього тяжіння Ньютона призвели до першого успіху нової теорії: отримав пояснення ефект зсуву перигелію Меркурія. Багато інших передбачень теорії було в подальшому підтверджено астрономічними спостереженнями. Однак внаслідок високої складності цих спостережень та труднощів із досягненням задовільних похибок вимірювань, виникли альтернативні теорії гравітації, такі як Теорія Бранса — Діке або біметрична теорія Розена. Але поки що немає таких експериментальних даних, які б могли викликати необхідність перегляду загальної теорії відносності.

Однак є теоретичні підстави стверджувати, що загальна теорія відносності незавершена. Вона не узгоджується з квантовою механікою, що має наслідком некоректні її результати за умов високих енергій. Об'єднання цих двох теорій — одна з фундаментальних проблем сучасної теоретичної фізики.

Зв'язок зі спеціальною теорією відносності

Спеціальна теорія відносності внесла фундаментальні зміни в закони класичної механіки, виходячи з таких постулатів

• всі інерційні системи відліку є рівноправними;
• швидкість світла в усіх інерційних системах є однаковою.

З цих постулатів випливає, що швидкість світла є максимально можливою в природі. Будь-який матеріальний об'єкт не може рухатися швидше за світло.

З погляду спеціальної теорії відносності простір і час тісно пов'язані між собою. Їх слід вважати єдиним чотиривимірним многовидом, що має назву «простір-час». Спостерігачі, що рухаються один відносно одного, можуть по-різному визначати «просторові» і «часовий» напрямки в цьому многовиді. Тому простір і час більше неможливо розглядати як окремі сутності.

Загальна теорія відносності доповнила цю картину тим, що енергія гравітаційного поля (породжена матерією) здатна деформувати простір-час так, що «прямі» лінії в просторі та часі мають властивості «кривих» ліній.

Викривлення простору-часу

Математики використовують термін «викривлення» для позначення будь-якого простору, де геометрія не є Евклідовою. Найчастіше ефект від викривлення ілюструється малюнком, аналогічним наведеному нижче:

Тут зображено, як масивне тіло «розтягує» уявну «сітку» простору-часу, внаслідок чого лінії сітки, що були прямими у пласкому (Евклідовому) просторі, стають викривленими. Як наслідок, траєкторії тіл, які були б прямими в Евклідовому просторі, змінюють свою форму поблизу масивного об'єкта. Слід однак пам'ятати, що цей малюнок — лише ілюстрація, яка далеко не повністю відображає фізичну реальність. Насправді ж поблизу масивного тіла викривляється не лише простір, а простір-час, внаслідок чого змінюється не лише просторова форма траєкторій, а й часові параметри руху: тіла зазнають прискорення (сповільнення). Реальний простір є тривимірним, а простір-час — чотиривимірним. На малюнку довелось обмежитись зображенням двовимірного простору заради наочності.

Хоча для візуалізації буває зручно уявити собі викривлену поверхню, яка вкладена у простір більшої розмірності, ця модель не має сенсу, якщо мова йде про реальний всесвіт. Кривина простору-часу може бути виміряна «зсередини» спостерігачами, які перебувають у ньому, тобто без використання додаткових вимірів.

Для ілюстрації розглянемо, як кривина поверхні Землі може бути виміряна спостерігачем, який весь час перебуває на цій поверхні. Проведемо такий уявний експеримент: Ви вирушаєте з Північного полюса на південь і проходите приблизно 10 000 км (до екватора), потім повертаєте наліво точно на 90 градусів, йдете 10 000 км, повертаєте знову наліво на 90 градусів і йдете ще 10 000 км і повертаєтесь точно туди, звідки почали, причому під кутом 90 градусів до першого відрізка Вашого шляху. Такий трикутних з трьома прямими кутами, абсолютно неможливий в Евклідовій геометрії, виявляється можливим на поверхні Землі лише тому, що Земля є викривленою поверхнею.

Викривленість простору-часу, у якому ми живемо, також можливо виявляти певними експериментами.

Базис теорії гравітації

Математичні основи загальної теорії відносності повертають нас до аксіом Евклідової геометрії та багатьох спроб довести відомий п'ятий постулат Евкліда. Лобачевський, Бояї та Гаусс довели, що ця аксіома не обов'язково повинна бути правильною та заклали основи для побудови неевклідових геометрій. Загальна математика неевклідових геометрій була розроблена Гаусовим студентом Ріманом, але не мала застосування до реального світу доти, доки Ейнштейн не сформулював загальну теорію відносності.

Гаус виходив з того, що немає апріорних доказів саме евклідовості геометрії реального світу. Це б означало, що якщо б фізик тримав паличку, а картограф стояв на деякій відстані від нього, та вимірював би довжину палички відомим в геодезії методом триангуляції, основаним на евклідовій геометрії, то не було б гарантії збігу результату вимірювання з тим, який би здійснив сам фізик, від якого паличка перебуває поряд. Зрозуміло, що на практиці за допомогою палички визначити неевклідовість геометрії неможливо, але існують експерименти, які визначають неевклідовість безпосередньо. Наприклад, експеримент Паунда-Ребки (1959) зафіксував зміни довжини хвилі випромінювання від джерела, піднятого на 22,5 метри над землею на вежі в Гарварді, і пізніше атомні годинники на супутниках глобальної системи позиціювання (GPS) були скориговані з врахуванням гравітаційних ефектів.

Ньютонова теорія гравітації стверджувала, що об'єкти насправді мають абсолютні швидкості, тобто, деякі тіла перебувають в абсолютному спокої, тоді як інші «справді» рухаються. Але Ньютон розумів, що ці абсолютні стани не можуть бути виміряні безпосередньо. Всі вимірювання давали лише швидкість одного тіла відносно іншого. І закони механіки здавались справедливими для всіх тіл незалежно від нюансів їхнього руху. Ньютон вірив, що ця теорія не має сенсу без розуміння того, що абсолютні величині насправді є, хоча ми не можемо їх виміряти. Але фактично, ньютонова механіка може працювати і без цього припущення, і це не треба плутати з пізнішим постулатом Ейнштейна про інваріантність швидкості світла.

У 19 столітті Максвелл сформулював систему рівнянь для електромагнітного поля, які показали, що світло поводить себе як електромагнітна хвиля, яка поширюється з фіксованою швидкістю в просторі. Це стало базою для подальших експериментів з перевірки ньютонової теорії: порівнюючи власну швидкість зі швидкістю світла, можна було б встановити абсолютну швидкість спостерігача. Або, що те ж саме, встановити швидкість спостерігача відносно системи відліку, яка є ідентичною для усіх інших спостерігачів.

Ці твердження базувались на припущенні про поширення світла в певному середовищі, і це середовище могло бути саме тим, від чого потрібно було відштовхуватись в проведенні подальших експериментів. Було проведено низку експериментів з визначення швидкості Землі відносно цієї всесвітньої «сутності», або «ефіру». Ідея була така: швидкість світла, яка б вимірювалась з поверхні Землі, повинна була бути більшою, коли планета рухалась би вздовж руху ефіру та меншою, коли б вона рухалась у протилежному напрямку (зрозуміло, що тут слід було б врахувати й обертання Землі навколо своєї осі). Перевірка, здійснена Майкельсоном та Морлі наприкінці 19 століття, мала дивовижний результат: швидкість світла залишалась постійною в усіх напрямах (дивіться Експеримент Майкельсона-Морлі).

У виступу в Лейденському університеті 5 травня 1920 року Альберт Ейнштейн казав: «Підсумовуючи, можна сказати, що згідно із загальною теорією відносності простір наділений фізичними властивостями; отже, в цьому сенсі існує ефір. Відповідно до загальної теорії відносності космос без ефіру немислимий; оскільки в такому просторі не тільки не було б поширення світла, але також не було б можливості існування еталонів простору та часу (вимірювальних стрижнів і годинників), а отже, і будь-яких просторово-часових інтервалів у фізичному сенсі ^[6].»

Основні принципи

Фундаментальна ідея загальної теорії відносності полягає в тому, що ми не можемо вести мову про фізичний сенс швидкостей або прискорень без визначення системи відліку. У спеціальній теорії відносності стверджується, що система відліку може бути розширена нескінченно на всі напрямки в просторі та часі. Це тому, що спеціальна теорія відносності асоціюється саме з інерційними системами відліку. Загальна теорія відносності стверджує, система відліку може бути лише локальною, справедливою лише для обмеженої області простору та проміжку часу (точно так, як можна намалювати пласку мапу географічного регіону, але через викривлення поверхні Землі пласка мапа всієї планети буде обов'язково викривлена). У загальній теорії відносності, закони Ньютона залишаються справедливими лише в локальних системах відліку. Наприклад, вільні частинки в локальних інерційних (Лоренцових) системах рухаються вздовж прямих ліній. Але ці лінії є прямими лише в межах системи відліку. Насправді вони не є прямими, вони є лініями, відомими як геодезичні. Таким чином, перший закон Ньютона замінюється «геодезичним» законом руху.

В інерційних системах відліку, тіло зберігає свій стан доти, доки на нього не подіють зовнішні сили. В неінерційних системах відліку, тіла набувають прискорення не від дії на них інших тіл, а безпосередньо від самої системи відліку. Саме тому ми відчуваємо на собі дію прискорення, перебуваючи в автомобілі, який повертає. Тут автомобіль є базисом неінерційної системи відліку, в якій ми перебуваємо. Таку саму природу має сила Коріоліса, якщо як систему відліку обрати тіло, яке обертається, наприклад, Землю. Принцип еквівалентності в загальній теорії відносності постулює, що ніякі локальні експерименти не виявлять різниці між вільним падінням у гравітаційному полі та відповідним за характеристиками прискореним рухом.

Математично, Ейнштейн змоделював простір-час за допомогою чотиривимірного псевдо-Ріманового многовиду, і його рівняння гравітаційного поля стверджують, що викривленість цього многовиду в довільній точці безпосередньо пов'язана з тензором енергії-імпульсу. Цей тензор відповідає густині речовини та енергії в цій точці. Отже, викривлення простору-часу спричиняє рух матерії, а матерія, з іншого боку, є причиною викривлення простору-часу.

В одному з варіантів рівняння Ейнштейна для гравітаційного поля містять параметр, який називають космологічною сталою. Ейнштейн запровадив її для того, щоб отримати як розв'язок цих рівнянь модель статичного Всесвіту, тобто такого, який не розширюється і не стискається. Це не мало належного ефекту, адже такий статичний всесвіт є нестабільним, а подальші астрономічні спостереження підтвердили, що наш Всесвіт розширюється. Тому пізніше Ейнштейн назвав запровадження космологічної сталої «своєю найбільшою помилкою». Однак, отримані наприкінці 20 століття нові астрономічні дані потребують ненульового значення космологічної сталої для пояснення результатів спостережень^{[джерело?]}.

Ейнштейнове рівняння гравітаційного поля

Докладніше: Рівняння Ейнштейна

Математичним апаратом загальної теорії відносності є диференціальна геометрія. Основною локальною характеристикою простору-часу є метрика простору-часу, задана метричним тензором. Просторово-часовий інтервал, інваріантний щодо переходу до будь-якої інерційної чи неінерційної системи відліку, має вигляд:

${\displaystyle ds^{2}=g_{ik}dx^{i}dx^{k}\,}$.

Метрика простору-часу визначається розподілом речовини й поля, який задається тензором енергії-імпульсу. Зв'язок між цими величинами встановлюється гравітаційною сталою.

Рівняння для визначення метричного тензора виглядає так:

${\displaystyle R_{ik}-{1 \over 2}Rg_{ik}=8\pi {G \over c^{4}}T_{ik}}$

Де ${\displaystyle R_{ik}}$ — тензор Річчі, ${\displaystyle R}$ — скалярна викривленість, ${\displaystyle g_{ik}}$ — метричний тензор, ${\displaystyle T_{ik}}$ — тензор енергії-імпульсу, який визначає негравітуючу матерію, енергію та сили в довільній точці простору-часу, ${\displaystyle \pi }$ — число пі, ${\displaystyle c}$ — швидкість світла, ${\displaystyle G}$ — гравітаційна стала, яка з'являється й у законі всесвітнього тяжіння Ньютона.

Тензор Річчі та скалярна викривленість — похідні від ${\displaystyle g_{ik}}$. ${\displaystyle g_{ik}}$, тобто метрики многовиду. Тензор Річчі має структуру симетричного 4 × 4-тензора, таким чином він складається з 10 незалежних компонент. Після визначення чотирьох просторово-часових координат, кількість незалежних рівнянь, які складають Ейнштейнові рівняння гравітаційного поля, скорочується до 6.

З космологічною сталою рівняння Ейнштейна має вигляд:

${\displaystyle R_{ik}-{1 \over 2}Rg_{ik}+\Lambda g_{ik}=8\pi {G \over c^{4}}T_{ik}}$

Космологічна стала ${\displaystyle \Lambda }$, хоч й здавалась Ейнштейну незалежною величиною, може бути включена до складу тензора енергії-імпульсу й проінтерпретована в такому разі як показник існування так званої темної енергії, густина якої постійна в просторі-часі.

Вивчення розв'язків цього рівняння — одна з активних галузей астрономії, яка має назву космології. Ця наука, ґрунтуючись на рівняннях Ейнштейна, передбачила існування чорних дір і сформулювала різноманітні моделі еволюції Всесвіту.

Космологія

До цього дня вчені роблять нові відкриття, які служать черговими доказами загальної теорії відносності Альберта Ейнштейна. Останнім з таких відкриттів стали спостереження вчених-астрономів з інституту Макса Планка, які вивчали те, як гравітація надмасивної чорної діри, що знаходиться в центрі Чумацького Шляху, спотворює і переломлює світло від зірок, що знаходяться поруч і за чорною дірою щодо Землі. У своїх спостереженнях вчені задіяли інфрачервоні інструменти Gravity, Sinfoni і Naco, які є складовими частинами телескопа Very Large Telescope Європейської південної обсерваторії. Цей телескоп був наведений на центр нашої галактики, туди, де «живе» надмасивна чорна діра Sagittarius A*, оточена групою зірок, що рухаються навколо неї на великій швидкості. Одна із зірок-супутників чорної діри, S2, робить один оборот на 15 земних років, а її найближчий до дірі прохід стався 19 травня 2018 року. В цей час зірка була схильна до максимального впливу гравітаційних сил чорної діри, що дало вченим можливість провести перевірку відразу декількох різних і суперечливих теорій, що мають відношення до гравітації. Інструменти Gravity і Sinfoni використовувалися для вимірювання швидкості і поточного місцезнаходження зірки S2. Ці дані, об'єднані з даними, зібраними в момент попереднього максимального зближення зірки і чорної діри, були зрівняні з прогнозами, розрахованими з точки зору класичної ньютонівської гравітаційної фізики, загальної теорії відносності та інших теорій. І найточніший прогноз, який практично зійшовся з результатами спостережень, забезпечила саме Загальна теорія відносності Альберта Ейнштейна^[7].

Наслідки

Див. також: Передбачення загальної теорії відносності

Розв'язок рівнянь загальної теорії відносності приводить до існування фізичних явищ, відмінних від класичної фізики, і, зокрема, теорії гравітації Ньютона. Ці відмінності проявляються тільки поблизу масивних тіл, у потужному гравітаційному полі. Однак, деякі з передбачень теорії знайшли підтвердження не тільки в астрономічних даних, але й завдяки прецизійним експериментам у земних умовах.

Гравітаційне уповільнення часу

Докладніше: Гравітаційне уповільнення часу

У межах загальної теорії відносності час у різних точках простору спливає по-різному, що визначається локальною метрикою простору-часу, яка залежить від гравітаційного поля. Власний час дорівнює:

${\displaystyle d\tau ={\frac {1}{c}}{\sqrt {g_{00}}}dx^{0}}$.

У наближенні слабкого поля

${\displaystyle g_{00}=1+{\frac {2\varphi }{c^{2}}}}$,

де ${\displaystyle \varphi }$ — потенціал гравітаційного поля.

В умовах Землі плин часу залежить від висоти над рівнем моря: зі зростанням висоти хід годинника прискорюється. Ця залежність дуже слабка, однак після винаходу атомного годинника її стало можливо виміряти експериментально. Системи GPS враховують поправки на гравітаційне сповільнення. Сповільнення часу набагато значніше поблизу масивних небесних тіл. Поблизу чорних дір воно настільки сильне, що далекому спостерігачеві процес падіння здаватиметься нескінченно довгим, тоді як для спостерігача, що падає на чорну діру, падіння триватиме скінченний час.

Гравітаційне червоне зміщення

Докладніше: Гравітаційне червоне зміщення

Зі сповільненням часу в полі тяжіння пов'язане явище зменшення частоти характеристичних ліній оптичних спектрів при віддаленні від масивних тіл. При віддаленні світла від масивного тіла час протікає швидше, і в його одиницю вкладається менше коливань. В умовах Землі це явище підтверджене в експерименті Паунда-Ребки 1959 року й в наступних точніших вимірюваннях. Зсув може досягати значних величин поблизу чорних дір. Спектр випромінювання квазарів, галактик із чорною дірою в центрі, змінюється настільки сильно, що його не одразу ідентифікували.

Гравітаційні хвилі

Докладніше: Гравітаційна хвиля

Рівняння Ейнштейна для середовища без масивних тіл має розв'язок у вигляді хвиль, які переносять гравітаційну взаємодію. Експериментально такі хвилі виявлено 14 вересня 2015 року o 5:51 ранку за Північноамериканським східним часом та офіційно підтверджено 11 лютого 2016 року. Зафіксовані двома детекторами гравітаційні хвилі породжені злиттям двох чорних дір із масами 36 і 29 M_☉^[8].

Експериментальна перевірка

Перше підтвердження теорії отримав 1915 року Ейнштейн, пояснивши ефект прецесії перигелію Меркурія без застосування будь-яких інших припущень.

1919 року спостереження Артура Еддінгтона засвідчили зсув видимого розташування зір під час сонячного затемнення (Сонце, маючи велику масу, викривило промені світла від зорі, візуально зсунувши її зі звичного місця на небосхилі) і таким чином підтвердили справедливість теорії.

10 квітня 2019 року команда з 200 вчених з допомогою телескопа Event Horizon сфотографувала ореол чорної діри в центрі галактики М87^[9].

Див. також

• Математичне формулювання загальної теорії відносності
• Метричний тензор
• Тензор Рімана
• Спеціальна теорія відносності
• Квантова механіка
• Гравітаційне червоне зміщення
• Нерозв'язані проблеми сучасної фізики
• Передбачення загальної теорії відносності
• Експеримент Хафеле — Кітінга
• Швидкість гравітації

Література

• Жданов В. І. Вступ до теорії відносності. — К. : ВПЦ "Київський університет", 2008. — 290 с.
• Дирак П. А. М. Общая теория относительности. — М. : Атомиздат, 1978. — 66 с.
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля // Теоретическая физика. — М. : Физматлит, 2006. — Т. 2. — 536 с.
• Мак-Витти Г. Общая теория относительности и космология. — М. : ИЛ, 1961. — 284 с.
• Мёллер К. Теория относительности. — М. : Атомиздат, 1975. — 400 с.
• Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. Гравитация. — М. : Мир, 1977. — 478+524+509 с.
• Синг Дж. Л. Общая теория относительности. — М. : ИЛ, 1963. — 432 с.
• Фейнман Р., Мориниго Ф., Вагнер У. Фейнмановские лекции по гравитации. — М. : Янус-К, 2000. — 296 с.
• т' Хоофт Г. Введение в общую теорию относительности. — Ижевск : РХД, 2002. — 96 с.
• Загальна теорія відносності: випробування часом: Моногр. / Я. С. Яцків, О. М. Александров, І. Б. Вавилова, В. І. Жданов, Ю. М. Кудря; Голов. астрон. обсерваторія. Цетр дослідж. наук.-техн. потенціалу та історії науки ім. Г. М. Доброва. Київ. нац. ун-т ім. Т. Шевченка. Астрон. обсерваторія. — К.: ГАО НАН України, 2005. — 287 с. — Бібліогр.: с. 248—281. — ISBN 966-02-3728-6. — укр.

Виноски

1. Ейнштейн А. Erklärung der Perihelbewegung des Merkur aus der allgemeinen Relativitätstheorie

   d:Track:Q937
2. Einstein A. The gravitational field equations, Die Feldgleichungen der Gravitation // Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin — B: Druckerei der Königlichen Akademie der Wissenschaften, 1915.

   d:Track:Q64d:Track:Q56151758d:Track:Q937d:Track:Q56151668d:Track:Q56151973
3. АЙНШТАЙН Альберт | Енциклопедія «Наукове товариство імені Шевченка». encyclopedia.com.ua. Процитовано 6 травня 2024.
4. В.Г. Козирський, В.А. Шендеровський (06.05.2024). ДО ІСТОРІЇ ТЕОРЕТИЧНИХ ДОСЛІДЖЕНЬ В ІНСТИТУТІ ФІЗИКИ НАН УКРАЇНИ (PDF).
5. Pais, Abraham (1982), 'Subtle is the Lord…' The Science and life of Albert Einstein, Oxford University Press, ISBN 0-19-853907-X
6. Einstein, Albert (1922). Ether and the Theory of Relativity. republished in Sidelights on Relativity (Dover, NY, 1922).
7. «Einstein proven right again as black hole gravity warps starlight» [Архівовано 1 серпня 2018 у Wayback Machine.] New Atlas, July 27th, 2018
8. Davide Castelvecchi (18 лютого 2016). LIGO's path to victory. Nature. 530: 261—262. doi:10.1038/530261a. PMID 26887468.
9. The Event Horizon Telescope Collaboration та ін. (2019). First M87 Event Horizon Telescope Results. I. The Shadow of the Supermassive Black Hole. ApJL. 875 L1. doi:10.3847/2041-8213/ab0ec7. {{cite journal}}: Явне використання «та ін.» у: |author= (довідка)Обслуговування CS1: Сторінки із непозначеним DOI з безкоштовним доступом (посилання) Архівована копія. Архів оригіналу за 8 листопада 2019. Процитовано 6 серпня 2019.{{cite web}}: Обслуговування CS1: Сторінки з текстом «archived copy» як значення параметру title (посилання)