Принцип еквівалентності

При́нцип еквівале́нтності (англ. equivalence principle) — основне твердження загальної теорії відносності, за яким спостерігач не може жодним способом відрізнити дію гравітаційного поля від сили інерції, що виникає в системі відліку, яка рухається з прискоренням.

Принцип еквівалентності справедливий завдяки рівності гравітаційної та інерційної маси.

Розрізняють слабкий принцип еквівалентності (англ. weak equivalence principle) та си́льний при́нцип еквівале́нтності (англ. strong equivalence principle). Різниця між ними в тому, що слабкий принцип — це локальне твердження, а сильний принцип — це твердження, що стосується будь-якої точки простору-часу, тобто будь-якого місця у Всесвіті й будь-якого часу в минулому чи майбутньому.

Математичне формулювання

Подивимось, як цей принцип відбивається у формулах. Для цього розглянемо світову лінію матеріальної точки з масою ${\displaystyle m}$. Натуральний параметр цієї лінії позначимо ${\displaystyle s}$, він пропорційний власному часу матеріальної точки ${\displaystyle \tau }$:

${\displaystyle (1)\qquad s=c\tau }$

де ${\displaystyle c}$ — швидкість світла. Різниця ${\displaystyle ds}$ натурального параметра в двох близьких точках чотиривимірного простору-часу називається просторово-часовим інтервалом. Він пов'язаний з приростами координат такою формулою:

${\displaystyle (2)\qquad (ds)^{2}=c^{2}(d\tau )^{2}=g_{ij}dx^{i}dx^{j}}$

Одиничний дотичний до світової лінії вектор ${\displaystyle \nu ^{i}}$ є справжнім чотиривектором; він виражається через чотиривектор швидкості ${\displaystyle v^{i}={dx^{i} \over d\tau }}$:

${\displaystyle (3)\qquad \nu ^{i}={dx^{i} \over ds}={v^{i} \over c}}$

Геодезична кривина світової лінії також є справжнім чотиривектором, і дорівнює:

${\displaystyle (4)\qquad k^{i}={D\nu ^{i} \over Ds}={d^{2}x^{i} \over ds^{2}}+\Gamma _{jk}^{i}{dx^{j} \over ds}{dx^{k} \over ds}}$

У спеціальній теорії відносності прискорення матеріальної точки пов'язане із силою такою формулою:

${\displaystyle (5)\qquad m{d^{2}x^{i} \over d\tau ^{2}}=F^{i}}$

Оскільки в спеціальній теорії відносності символи Крістофеля дорівнюють нулю, то можна замість другої похідної за часом підставити вектор кривини ${\displaystyle k^{i}}$ з відповідним коефіцієнтом, і узагальнити (5) до такої тензорної формули:

${\displaystyle (6)\qquad mc^{2}\left({d^{2}x^{i} \over ds^{2}}+\Gamma _{jk}^{i}{dx^{j} \over ds}{dx^{k} \over ds}\right)=F^{i}}$

Всі справжні сили, окрім сили тяжіння і сил інерції, (наприклад електромагнітні сили) зібрані у векторі ${\displaystyle F^{i}}$. Мимохідь можна побачити такий цікавий геометричний факт: геодезична кривина світової лінії (розмірність обернена до відстані) дорівнює силі, поділеній на енергію спокою:

${\displaystyle (7)\qquad k^{i}={F^{i} \over mc^{2}}}$

Сила тяжіння і сили інерції описуються одним доданком у формулі (6), пов'язаним із символами Крістофеля. Перепишемо (6), перенісши цей доданок у праву частину рівняння, і позначимо цю несправжню силу ${\displaystyle {\tilde {F}}^{i}}$ (еф з тильдою):

${\displaystyle (8)\qquad m{d^{2}x^{i} \over d\tau ^{2}}=-m_{0}\Gamma _{jk}^{i}{dx^{j} \over d\tau }{dx^{k} \over d\tau }+F^{i}={\tilde {F}}^{i}+F^{i}}$

Звернемо увагу, що масу ${\displaystyle m}$ у лівій частині формули (6) винесено за дужки, а тому при розкритті дужок буде однаковою інерційна маса, яка стоїть множником біля прискорення в даній системі координат:

${\displaystyle (9)\qquad m{d^{2}x^{i} \over d\tau ^{2}}}$

і гравітаційна маса, яка стоїть множником у формулі для гравітаційної сили:

${\displaystyle (10)\qquad {\tilde {F}}^{i}=-m\Gamma _{jk}^{i}{dx^{j} \over d\tau }{dx^{k} \over d\tau }}$

Ясно, що відокремити силу тяжіння від сил інерції важко, особливо в нестаціонарному гравітаційному полі.

Проте ми можемо окремо говорити про сили інерції у випадку плоского простору Мінковського, коли тензор Рімана тотожно дорівнює нулю. Також ми можемо говорити тільки про силу гравітації і відсутність сил інерції, якщо метричний тензор не залежить від часу і на нескінченності переходить у сталий тензор Мінковського:

${\displaystyle (11)\qquad (g_{ij})={\begin{vmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{vmatrix}}}$

Основи доведення необхідності принципу еквівалентності у рамках КТП

Нехай розглядається деякий процес, у якому бере участь деяка кількість «зовнішніх» (різних) частинок, що можуть взаємодіяти із безмасовими частинками спіну 2 (як відомо, безмасове поле спіральності 2 описує гравітаційне поле). Нехай ці частинки випромінюють «м'які» гравітони (з імпульсом ${\displaystyle \ q\to 0}$). На мові діаграм частинкам відповідають зовнішні лінії. Якщо врахувати можливість випромінювання фотону із кожної зовнішньої лінії, то сумарна амплітуда такого процесу набуде вигляду

${\displaystyle \ M_{\alpha \beta }=M_{\alpha \beta }^{0}\sum _{n}{\frac {f_{n}\eta _{n}p_{n}^{\mu }p_{n}^{\nu }\varepsilon _{\mu \nu }(q)}{(q\cdot p_{n})}}}$.

Тут ${\displaystyle \ p_{n}}$ — 4-імпульс зовнішньої частинки, ${\displaystyle \ \eta _{n}=\pm 1}$ дорівнює одиниці для кінцевої частинки і мінус одиниці для початкової, ${\displaystyle \ f_{n}}$ — константа взаємодії даної ${\displaystyle \ n}$-ї частинки та гравітонів, ${\displaystyle \ \varepsilon _{\mu \nu }(q)}$ — поляризаційний тензор гравітона, ${\displaystyle \ M_{\alpha \beta }^{0}}$ — амплітуда процесу без урахування випромінювання «м'яких» гравітонів.

Умова лоренц-інваріантності процесу вимагає, щоб

${\displaystyle \ M_{\alpha \beta }^{0}\sum _{n}{\frac {f_{n}\eta _{n}p_{n}^{\mu }(p_{n}\cdot q)}{(q\cdot p_{n})}}=\sum _{n}f_{n}\eta _{n}=0}$.

Як відомо, у будь-яких процесах зберігається 4-імпульс. Це вимагає, щоб усі константи взаємодії були однаковими: ${\displaystyle \ f_{n}=f}$. Це означає, що гравітаційне поле як поле спіральності 2 взаємодіє із будь-якими частинками однаково. Фактично, це є принципом еквівалентності. Більше того: зовнішніми частинками можуть бути самі гравітони, а це означає, що енергія-імпульс гравітаційного поля нічим не відрізняється від енергії-імпульсу матерії (це називається сильним принципом еквівалентності).

Підтвердження принципу

Одне з основних припущень фундаментальної фізики полягає в тому, що різні властивості маси, а саме вага, інерція та гравітація — завжди залишаються незмінними по відношенню одна до одної. Без цієї еквівалентності теорія відносності Ейнштейна суперечила б, а наші нинішні підручники фізики довелося б переписати. Хоча всі вимірювання на сьогодні підтверджують принцип еквівалентності, квантова теорія постулює, що має бути порушення. Ця невідповідність між гравітаційною теорією Ейнштейна та сучасною квантовою теорією є причиною особливої ​​важливості дедалі точніших перевірок принципу еквівалентності. Групі з Центру прикладних космічних технологій і мікрогравітації (ZARM) Бременського університету у співпраці з Інститутом геодезії (IfE) Ганноверського університету імені Лейбніца вдалося довести зі 100 разів більшою точністю, що пасивна гравітаційна маса й активна гравітаційна маса завжди еквівалентна, незалежно від конкретного складу відповідних мас. Дослідження проводилося в рамках Кластеру передового досвіду «QuantumFrontiers»^[1] і 14 липня 2023 року команда опублікувала свої висновки, як важливу наукову статтю в Physical Review Letters^[2].

Фізичний контекст: інерційна маса чинить опір прискоренню. Наприклад, це призводить до того, що вас штовхає назад на ваше сидіння, коли автомобіль заводиться. Пасивна гравітаційна маса реагує на силу тяжіння і призводить до нашої ваги на Землі. Активна гравітаційна маса належати до сили тяжіння, яку чинить об’єкт, або, точніше, до розміру його гравітаційного поля^[3].

Примітки

1. QuantumFrontiers
2. Despite doubts from quantum physicists: Einstein's theory of relativity reaffirmed. July 14, 2023. Original publication Vishwa Vijay Singh, Jürgen Müller, Liliane Biskupek, Eva Hackmann, and Claus Lämmerzahl. Equivalence of active and passive gravitational mass tested with lunar laser ranging. Phys. Rev. Lett. 131, 021401 (2023)
3. Теорія відносності Ейнштейна знову підтверджена. 15.07.2023, 23:45