Символи Крістофеля

Символи Крістофеля (позначаються $\Gamma _{ij}^{k}$ ) — це коефіцієнти компенсаційного доданка, який зменшує вплив викривлення системи координат на диференціювання векторів та тензорів. Існує також альтернативна назва для символів Крістофеля — коефіцієнти афінної зв'язності.

Символи Крістофеля не є тензором, бо не підкоряються тензорному правилу переходу в іншу систему координат.

Розглянемо $n$ -вимірний многовид, вміщений в $N$ -вимірний евклідовий простір ( $N\geq n$ ). Точки евклідового простору будемо зображати радіус-вектором $\mathbf {r}$ , який в прямокутних декартових координатах має вигляд:

(1)\qquad \mathbf {r} =\left\{x^{1},x^{2},\dots ,x^{N}\right\}

Многовид в цьому просторі задається параметрично вектор-функцією:

(2)\qquad \mathbf {r} =\mathbf {r} (u^{1},u^{2},\dots u^{n})

Параметри $u^{1},u^{2},\dots u^{n}$ є координатами на многовиді. Часткові похідні радіус-вектора по цих координатах будуть дотичними векторами до многовиду і утворюють базис в дотичному афінному підпросторі^[en] евклідового простору.

(3)\qquad \mathbf {r} _{i}={\partial \mathbf {r}  \over \partial u^{i}}

Розглянемо другу похідну $\mathbf {r} _{ij}$ радіус-вектора многовида по параметрах. Це є вектор, який можна розкласти на два вектори — дотичний до многовиду $\mathbf {a} _{ij}$ і перпендикулярний $\mathbf {b} _{ij}$ :

(4)\qquad \mathbf {r} _{ij}={\partial ^{2}\mathbf {r}  \over \partial u^{i}\partial u^{j}}=\mathbf {a} _{ij}+\mathbf {b} _{ij}

Дотичний вектор можна розкласти за базисом $\mathbf {r} _{k}$ :

(5)\qquad \mathbf {a} _{ij}=\Gamma _{ij}^{k}\mathbf {r} _{k}

Коефіцієнти розкладу (числа $\Gamma _{ij}^{k}$ ) вивчав німецький математик Елвін Бруно Крістофель^[en], тому вони називаються символами Крістофеля.

Ми можемо формули (4) і (5) зібрати в одну формулу:

(6)\qquad \mathbf {r} _{ij}=\Gamma _{ij}^{s}\mathbf {r} _{s}+\mathbf {b} _{ij}

Помножимо рівність (6) скалярно на базисний вектор $\mathbf {r} _{k}$ , і врахуємо ортогональність вектора $\mathbf {b} _{ij}$ :

(7)\qquad (\mathbf {r} _{ij}\cdot \mathbf {r} _{k})=\Gamma _{ij}^{s}(\mathbf {r} _{s}\cdot \mathbf {r} _{k})=g_{ks}\Gamma _{ij}^{s}

в останньому виразі ми використали позначення метричного тензора $g_{ij}$ , який виражається через скалярні добутки базисних векторів. Одержані в правій частині цієї рівності величини називаються символами Крістофеля першого роду, і позначаються тією ж великою літерою «гамма», але з опущеним індексом (і відокремленим комою, щоб підкреслити його особливість у порівнянні з двома іншими індексами):

(8)\qquad \Gamma _{ij,k}=g_{ks}\Gamma _{ij}^{s}=(\mathbf {r} _{ij}\cdot \mathbf {r} _{k})

Ми можемо також навпаки, виразити звичайні символи Крістофеля (які називаються аналогічно символами Крістофеля другого роду) через символи Крістофеля першого роду, домноживши (8) на обернений метричний тензор $g^{pk}$ :

(9)\qquad \Gamma _{ij}^{p}=\delta _{s}^{p}\Gamma _{ij}^{s}=g^{pk}g_{ks}\Gamma _{ij}^{s}=g^{pk}\Gamma _{ij,k}

Внаслідок теореми про рівність змішаних похідних $\mathbf {r} _{ij}=\mathbf {r} _{ji}$ і з рівності (8) ми одержуємо, що символи Крістофеля першого роду симетричні по перших двох індексах:

(10)\qquad \Gamma _{ij,k}=\Gamma _{ji,k}

Те саме стосується символів Крістофеля з верхнім індексом внаслідок (9), дійсно:

(11)\qquad \Gamma _{ji}^{p}=g^{pk}\Gamma _{ji,k}=g^{pk}\Gamma _{ij,k}=\Gamma _{ij}^{p}

Візьмемо частинну похідну від компоненти метричного тензора (яка, як відомо, дорівнює скалярному добутку базисних векторів):

(12)\qquad {\partial g_{ij} \over \partial u^{k}}={\partial  \over \partial u^{k}}(\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {r} _{j})=(\mathbf {r} _{ki}\cdot \mathbf {r} _{j})+(\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {r} _{kj})

Для спрощення запису подальших формул, введемо наступне позначення оператора частинної похідної:

(13)\qquad \partial _{k}={\partial  \over \partial u^{k}}

Тоді з формул (12) і (8) маємо формулу, яка виражає похідні метричного тензора через символи Крістофеля першого роду:

(14)\qquad \partial _{k}g_{ij}=\Gamma _{ki,j}+\Gamma _{kj,i}

Можна також і навпаки, виразити символи Крістофеля через похідні метричного тензора. Для цього з формули (14) утворимо ще дві еквівалентні формули, циклічно переставляючи індекси $(ijk)$ :

(14a)\qquad \partial _{i}g_{jk}=\Gamma _{ij,k}+\Gamma _{ik,j}

(14b)\qquad \partial _{j}g_{ki}=\Gamma _{jk,i}+\Gamma _{ji,k}

Якщо додати дві останні формули і від суми відняти (14), одержимо з врахуванням симетрії символів Крістофеля:

(15)\qquad \partial _{i}g_{jk}+\partial _{j}g_{ki}-\partial _{k}g_{ij}=2\Gamma _{ij,k}

звідки одержуємо формули для символів Крістофеля:

(17)\qquad \Gamma _{ij,k}={1 \over 2}\left(\partial _{i}g_{jk}+\partial _{j}g_{ki}-\partial _{k}g_{ij}\right)

(18)\qquad \Gamma _{ij}^{s}={1 \over 2}\,g^{sk}\left(\partial _{i}g_{jk}+\partial _{j}g_{ki}-\partial _{k}g_{ij}\right)

Ми бачимо, що символи Крістофеля залежать тільки від метричного тензора, а тому є поняттям внутрішньої геометрії многовиду і системи координат у многовиді.

Із формули (18) можна обчислити згортки символів Крістофеля:

(19)\qquad \Gamma _{is}^{s}={1 \over {\sqrt {g}}}\partial _{i}{\sqrt {g}}

(20)\qquad g^{ij}\Gamma _{ij}^{s}=-{1 \over {\sqrt {g}}}\partial _{i}\left({\sqrt {g}}g^{is}\right)

де буквою без індексів $g$ позначено визначник матриці метричного тензора $(g_{ij})$ . Вивід цих формул дивіться тут.

Нехай на многовиді окрім параметрів $\{u^{1},u^{2},\dots u^{n}\}$ задано також інший набір параметрів $\{{\hat {u}}^{1},{\hat {u}}^{2},\dots {\hat {u}}^{n}\}$ , які задають іншу систему координат.

Введемо такі позначення для (взаємно обернених) матриць переходу між цими системами координат:

(21)\qquad \alpha _{j}^{i}={\partial {\hat {u}}^{i} \over \partial u^{j}};\qquad \beta _{j}^{i}={\partial u^{i} \over \partial {\hat {u}}^{j}}

Базисні вектори в новій системі координат виражаються через старий базис за тензорним законом:

(22)\qquad {\hat {\mathbf {r} }}_{i}={\partial \mathbf {r}  \over \partial {\hat {u}}^{i}}={\partial u^{k} \over \partial {\hat {u}}^{i}}{\partial \mathbf {r}  \over \partial u^{k}}=\beta _{i}^{k}\mathbf {r} _{k}

Знайдемо, як виглядатиме формула (6) в новій системі координат. Спершу обчислюємо другу похідну:

(23)\qquad {\hat {\mathbf {r} }}_{ij}={\partial  \over \partial {\hat {u}}^{i}}{\partial \mathbf {r}  \over \partial {\hat {u}}^{j}}={\partial  \over \partial {\hat {u}}^{i}}\left(\beta _{j}^{k}\mathbf {r} _{k}\right)=\left({\partial  \over \partial {\hat {u}}^{i}}\beta _{j}^{k}\right)\mathbf {r} _{k}+\beta _{j}^{k}{\partial  \over \partial {\hat {u}}^{i}}\mathbf {r} _{k}={\partial ^{2}u^{k} \over \partial {\hat {u}}^{i}\partial {\hat {u}}^{j}}\mathbf {r} _{k}+\beta _{j}^{k}\beta _{i}^{l}\mathbf {r} _{kl}

В останньому доданку розпишемо $\mathbf {r} _{kl}$ за формулою (6):

(24)\qquad {\hat {\mathbf {r} }}_{ij}={\partial ^{2}u^{k} \over \partial {\hat {u}}^{i}\partial {\hat {u}}^{j}}\mathbf {r} _{k}+\beta _{j}^{k}\beta _{i}^{l}\left(\Gamma _{kl}^{p}\mathbf {r} _{p}+\mathbf {b} _{kl}\right)

У формулі (24) зберемо докупи доданки з дотичними до многовиду векторами $\mathbf {r} _{k}$ , перейменувавши при потребі індекси за якими іде згортка, і окремо виділимо ортогональний доданок:

(25)\qquad {\hat {\mathbf {r} }}_{ij}=\left({\partial ^{2}u^{k} \over \partial {\hat {u}}^{i}\partial {\hat {u}}^{j}}+\beta _{i}^{p}\beta _{j}^{q}\Gamma _{pq}^{k}\right)\mathbf {r} _{k}+\beta _{i}^{k}\beta _{j}^{l}\mathbf {b} _{kl}

Запишемо для порівняння також формулу (6) у новій системі координат.

(26)\qquad {\hat {\mathbf {r} }}_{ij}={\hat {\Gamma }}_{ij}^{s}{\hat {\mathbf {r} }}_{s}+{\hat {\mathbf {b} }}_{ij}={\hat {\Gamma }}_{ij}^{s}\beta _{s}^{k}\mathbf {r} _{k}+{\hat {\mathbf {b} }}_{ij}

Із формул (25) і (26) ми можемо зробити два висновки. По-перше, вектори повної кривини $\mathbf {b} _{ij}$ при заміні координат змінюються за тензорним законом:

(27)\qquad {\hat {\mathbf {b} }}_{ij}=\beta _{i}^{k}\beta _{j}^{l}\mathbf {b} _{kl}

А по-друге, символи Крістофеля змінюються за таким правилом:

(28)\qquad {\hat {\Gamma }}_{ij}^{s}\beta _{s}^{k}={\partial ^{2}u^{k} \over \partial {\hat {u}}^{i}\partial {\hat {u}}^{j}}+\beta _{i}^{p}\beta _{j}^{q}\Gamma _{pq}^{k}

яке можна переписати, виразивши символи Крістофеля в новій системі координат:

(29)\qquad {\hat {\Gamma }}_{ij}^{s}=\alpha _{k}^{s}\left({\partial ^{2}u^{k} \over \partial {\hat {u}}^{i}\partial {\hat {u}}^{j}}+\beta _{i}^{p}\beta _{j}^{q}\Gamma _{pq}^{k}\right)

Цей закон перетворення не тензорний, завдяки наявності доданка другої похідної. Як наслідок, для довільного многовида і окремо взятої точки на многовиді можна підібрати таку систему координат, що всі символи Крістофеля стануть нульовими.

Нехай нашим многовидом буде евклідовий простір (з нульовим тензором Рімана), в якому задана декартова система координат $u^{1},u^{2},\dots u^{n}$ і криволінійна система координат $\{{\hat {u}}^{1},{\hat {u}}^{2},\dots {\hat {u}}^{n}\}$ . У декартових координатах всі символи Крістофеля $\Gamma _{pq}^{k}$ тотожно дорівнюють нулю. А для символів Крістофеля в криволінійній системі координат внаслідок (29) одержуємо наступну формулу: