Loading AI tools
Из Википедии, свободной энциклопедии
Поде́ра (фр. podaire, от др.-греч. πούς, род. пад. ποδός — нога[1][2], то есть стопа перпендикуляра; англ. pedal curve; pedal) кривой относительно точки — некоторая кривая, составленная из оснований перпендикуляров, опущенных из данной точки на касательные к данной кривой[2][3][4][5][6][7][8].
Устаревший термин подэ́ра[3][9][10], или подэ́рная крива́я[9].
В некоторых математических текстах вместо русского термина «подера» используется калька с английского «педаль»[11][12].
Например, подера окружности относительно точки, лежащей не в центре окружности, — это улитка Паскаля[3][13].
Подера кривой есть инверсия полярного преобразования кривой, полюсы которых совпадают с полюсом подеры[14].
Впервые подера рассмотрена 30 июня 1718 года Колином Маклореном (англ. Colin Maclaurin), профессором математики из Абердина, в журнале Философские труды Королевского общества (англ. Philosophical Transactions of the Royal Society) в статье на латинском языке «III. Трактат о построении и измерении кривых, где большинство бесконечных серий кривых сводятся либо к прямым линиям, либо к более простым кривым. Автор Колин Маклорен, профессор математики в колледже[англ.] Нового Абердина[англ.]» (лат. III. Tractatus de Curvarum Constructione et Mensura; ubi plurimae Series Curvarum Infinitae vel rectis mensurantur vel ad Simpliciores Curvas reducuntur. Autore Colin Maclaurin, in Collegio novo Abredonensi Matheseos Professore)[15][16][17].
Поде́ра, или (первая) позитивная подера[18][19], или подошвенная кривая[19] (англ. pedal; pedal curve; first positive pedal), кривой — некоторая кривая, составленная из оснований перпендикуляров, опущенных из фиксированной точки, которая называется полюсом[6][20][8], или центром[4], или точкой подеры[20][21], на касательные к исходной кривой[3][2][4][5][6][7][21][20][8]. Подера кривой порядка , , имеет порядок [6].
Устаревший термин подэ́ра[3][9][10], или подэ́рная крива́я[9].
В некоторых математических текстах вместо русского термина «подера» используется калька с английского «педаль»[11][12].
Антиподе́ра, или (первая) негативная подера[22][23][19] (англ. first negative pedal), кривой относительно точки — кривая, подера которой относительно той же точки есть исходная кривая[3][2][19]. Другими словами, антиподера — огибающая кривая перпендикуляров, проведённых через точки исходной кривой к прямым, соединяющим точки исходной кривой с фиксированной точкой — полюсом[23].
Например, парабола есть антиподера прямой, если полюс антиподеры совпадает с фокусом параболы[6][19], как показано на рисунке справа.
Построение антиподеры исходя из уже построенной её подеры называется построением с помощью подеры[9].
Например, всегда получится коническое сечение, если осуществить построение с помощью подеры из окружности или прямой[9][19].
Поде́ры степене́й вы́ше пе́рвой обеих разновидностей определяются как подеры подер предыдущей степени с одним и тем же полюсом[23].
Имеет место схема преобразований кривых для подеры, инверсии и полярного преобразования кривой, показанная на рисунке справа, из которой вытекает следующее утверждение[14]:
Поде́рное преобразова́ние — преобразование плоскости, отображающее точки каждой кривой в соответствующие точки её подеры. Это преобразование неточечное, то есть оно не сохраняет точки, прямые и окружности[4]. Подерное преобразование есть касательное преобразование (преобразование Ли)[24].
Поде́рная систе́ма координа́т — система координат, основанная на подерном преобразовании и состоящие из двух величин: расстояний от полюса до точки кривой и до соответствующей точки её подеры[25][26].
Поде́ра пове́рхности, или подерная поверхность[27] — некоторая поверхность, составленная из оснований перпендикуляров, опущенных из постоянной точки на касательные плоскости данной поверхности[3][27].
Подо́ида, или втори́чная ка́устика (англ. orthotomic; orthotomic curve; secondary caustic), кривой относительно данного полюса — кривая, получающаяся из подеры растяжением в два раза относительно полюса[28][29]. Другими словами, подоида — некоторая кривая, составленная из точек, симметричных полюсу относительно касательных данной кривой[30][29][31]. Эволюта ортотомики есть каустика[31].
В некоторых математических текстах вместо русского термина «подоида» используется калька с английского «ортото́мика»[11].
Например, подоида конического сечения относительно его фокуса есть[32]:
Антиподо́ида кривой относительно полюса — кривая, подоида которой относительно полюса есть исходная кривая[33]. Другими словами, антиподоида — огибающая кривая перпендикуляров, проведённых через середины отрезков, соединяющих точки исходной кривой с полюсом[33].
Контраподе́ра[34][35], или норма́льная поде́ра, или норма́льная поде́рная кри́вая (англ. contrapedal; normal pedal; normal pedal curve), кривой относительно полюса — подера эволюты этой кривой относительно того же полюса. Другими словами, котраподера — некоторая кривая, составленная из оснований перпендикуляров, опущенных из полюса на нормали данной кривой[18][34][35]. Соответственно, подера кривой относительно полюса — это контраподера эвольвенты этой кривой относительно того же полюса[35]
В общем случае, для параметрически заданной кривой , имеющей производную , подера
относительно точки задаётся следующими уравнениями[36][21]:
Эти основные уравнения[37] можно принять за определение подеры[38].
Параметрическое уравнение касательной прямой параметрически заданной кривой , имеющей производную , в точке , имеет вид
Параметрическое уравнение прямой перпендикулярной касательной и параллельной нормали к параметрически заданной кривой , имеющей производную , в точке , имеет вид
Если эта перпендикулярная прямая проходит через точку , то она имеет вид
Чтобы найти точку пересечения касательной прямой и прямой, перпендикулярной к ней и проходящей через точку , нужно решить систему уравнений
Вычтем из левой и правой частей первого равнения соответственно левую и правую части второго:
Подставим полученное выражение для в первое уравнение системы уравнений:
Иногда основные уравнения записывают в более сложном виде[38]:
В частном случае, относительно полюса в начале координат, основные уравнения будут такими[3][36]:
В векторном виде основное уравнение будет проще[38]:
или в более сложном виде[38]:
где — вектор нормали, перпендикулярный касательной[38].
Относительно полюса [38][3][36]:
или в более сложном виде[38][3][36]:
В комплексных числах для параметрически заданной кривой , имеющей производную , основное уравнение подеры
относительно точки будут ещё проще[40][37]:
В частном случае, относительно полюса , основное уравнение будет таким[40][37]:
Найдём основное уравнение подеры кривой относительно полюса в начале координат , показанном на рисунке справа вместе с вещественной осью . Текущая точка кривой — , подеры — .
Из треугольника получаем модуль функции :
Так как радиус-вектор составляет с вещественной осью угол , то аргумент комплексной функции равен
Тогда искомое уравнение
Заменим комплексную функцию синуса, используя формулу Эйлера:
Снова используем одну из показательных форм комплексного числа
окончательно получим:
Для параметрически заданной пространственной кривой , имеющей производную , подера относительно точки задаётся следующими уравнениями[3]:
Для кривой с неявным уравнением , имеющей частные производные и подера относительно точки задаётся следующими параметрическими уравнениями[41]:
Для поверхности с неявным уравнением , имеющей частные производные , и , подера относительно точки задаётся следующими параметрическими уравнениями[3]:
Самое простое уравнение подеры получается в подерной системе координат. Для кривой, имеющей подерное уравнение
относительно некоторого полюса, подерное уравнение её подеры
относительно того же полюса[42]
В соответствии с утверждения о пропорциональности подерных координат, радиальное и перпендикулярное расстояния исходной кривой относительно некоторого полюса пропорциональны соответствующим расстояниям её подеры относительно того же полюса:
Отсюда получаем:
или
или
Подера окружности с полюсом в центре есть та же самая окружность. Подера окружности с полюсом вне центра есть улитка Паскаля, в частности, если полюс подеры лежит на самой окружности, то подера — кардиоида[4].
Найдём уравнение подеры окружности. Уравнение окружности в комплексном параметрическом виде
где — постоянный комплексный центр окружности; — постоянный вещественный радиус окружности; — вещественный параметр. Получаем:
и уравнение подеры окружности с полюсом , то есть улитки Паскаля[37]:
Уравнение улитки Паскаля упростится, если прямая параллельна вещественной оси комплексной плоскости, то есть или
Рассмотрим два частных случая подеры[37]:
Любая парабола имеет подеру — циркулярную кривую 3-го порядка на комплексной проективной плоскости[6].
Не умаляя общности, уравнение произвольной параболы можно записать в следующем виде[6]:
где — расстояние от фокуса параболы до её вершины и от вершины до директрисы.
Тогда подера произвольной параболы относительно произвольного полюса есть дефективная гипербола с двойной точкой , асимптотой и следующим уравнением[6]:
Подера эллипса
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.