Перпендикулярность

Символы со сходным начертанием: ⊥ · ﬩ · Ʇ · Ⲳ · ⲳ · ˔

Перпендикуля́рность (от лат. perpendicularis — букв. отвесный)^[1] — бинарное отношение между различными объектами (векторами, прямыми, подпространствами и т. д.).

Для обозначения перпендикулярности имеется общепринятый символ: ⊥, предложенный в 1634 году французским математиком Пьером Эригоном. Например, перпендикулярность прямых ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$ записывают как ${\displaystyle m\perp n}$.

На плоскости

Перпендикулярные прямые на плоскости

Две прямые на плоскости называются перпендикулярными, если при пересечении они образуют 4 прямых угла.

Про прямую ${\displaystyle m}$ перпендикулярную к прямой ${\displaystyle \ell }$ проведённую через точку ${\displaystyle P}$ вне прямой ${\displaystyle \ell }$, говорят, что ${\displaystyle m}$ есть перпендикуляр опущенный из ${\displaystyle P}$ на ${\displaystyle \ell }$. Если же точка ${\displaystyle P}$ лежит на прямой ${\displaystyle \ell }$, то говорят, что ${\displaystyle m}$ есть перпендикуляр к восстановленный из ${\displaystyle P}$ к ${\displaystyle \ell }$ (устаревший термин восставленный^[2]).

В координатах

В аналитическом выражении прямые, заданные линейными функциями

${\displaystyle y=a\cdot x+b}$

и

${\displaystyle y=k\cdot x+m}$

будут перпендикулярны, если выполнено следующее условие на их угловые коэффициенты

${\displaystyle a\cdot k=-1.}$

Построение перпендикуляра

Построение перпендикуляра

Шаг 1: С помощью циркуля проведём полуокружность с центром в точке P, получив точки А и В.

Шаг 2: Не меняя радиуса, построим две полуокружности с центром в точках A и В соответственно, проходящими через точку P. Кроме точки P есть ещё одна точка пересечения этих полуокружностей, назовём её Q.

Шаг 3: Соединяем точки P и Q. PQ и есть перпендикуляр к прямой AB.

Координаты точки основания перпендикуляра к прямой

Пусть прямая задаётся точками ${\displaystyle A(x_{a},y_{a})}$ и ${\displaystyle B(x_{b},y_{b})}$. На прямую опускается перпендикуляр из точки ${\displaystyle P(x_{p},y_{p})}$. Тогда основание перпендикуляра ${\displaystyle O(x_{o},y_{o})}$ можно найти следующим образом.

Если ${\displaystyle x_{a}=x_{b}}$ (вертикаль), то ${\displaystyle x_{o}=x_{a}}$ и ${\displaystyle y_{o}=y_{p}}$. Если ${\displaystyle y_{a}=y_{b}}$ (горизонталь), то ${\displaystyle x_{o}=x_{p}}$ и ${\displaystyle y_{o}=y_{a}}$.

Во всех остальных случаях:

${\displaystyle x_{o}={\frac {x_{a}\cdot (y_{b}-y_{a})^{2}+x_{p}\cdot (x_{b}-x_{a})^{2}+(x_{b}-x_{a})\cdot (y_{b}-y_{a})\cdot (y_{p}-y_{a})}{(y_{b}-y_{a})^{2}+(x_{b}-x_{a})^{2}}}}$;

${\displaystyle y_{o}={\frac {(x_{b}-x_{a})\cdot (x_{p}-x_{o})}{(y_{b}-y_{a})}}+y_{p}}$.

В трёхмерном пространстве

Перпендикулярные прямые

Две прямые в пространстве перпендикулярны друг другу, если они соответственно параллельны некоторым двум другим взаимно перпендикулярным прямым, лежащим в одной плоскости. Две прямые, лежащие в одной плоскости, называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными), если они образуют четыре прямых угла.

Перпендикулярность прямой к плоскости

Определение: Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна всем прямым, лежащим в этой плоскости.

Признак: Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Плоскость, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой. Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.

Перпендикулярные плоскости

Две плоскости называются перпендикулярными, если двугранный угол между ними равен 90°.

• Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
• Если из точки, принадлежащей одной из двух перпендикулярных плоскостей, провести перпендикуляр к другой плоскости, то этот перпендикуляр полностью лежит в первой плоскости.
• Если в одной из двух перпендикулярных плоскостей провести перпендикуляр к их линии пересечения, то этот перпендикуляр будет перпендикулярен второй плоскости.
• Плоскость, перпендикулярная двум пересекающимся плоскостям, перпендикулярна их линии пересечения^[3].

В многомерных пространствах

Перпендикулярность плоскостей в 4-мерном пространстве

Перпендикулярность плоскостей в четырёхмерном пространстве имеет два смысла: плоскости могут быть перпендикулярны в 3-мерном смысле, если они пересекаются по прямой (а следовательно, лежат в одной гиперплоскости), и двугранный угол между ними равен 90°.

Плоскости могут быть также перпендикулярны в 4-мерном смысле, если они пересекаются в точке (а следовательно, не лежат в одной гиперплоскости), и любые 2 прямые, проведённые в этих плоскостях через точку их пересечения (каждая прямая в своей плоскости), перпендикулярны.

В 4-мерном пространстве через данную точку можно провести ровно 2 взаимно перпендикулярные плоскости в 4-мерном смысле (поэтому 4-мерное евклидово пространство можно представить как декартово произведение двух плоскостей). Если же объединить оба вида перпендикулярности, то через данную точку можно провести 6 взаимно перпендикулярных плоскостей (перпендикулярных в любом из двух вышеупомянутых значений).

Существование шести взаимно перпендикулярных плоскостей можно пояснить таким примером. Пусть дана система декартовых координат x y z t. Для каждой пары координатных прямых существует плоскость, включающая эти две прямые. Количество таких пар равно ${\displaystyle {\tbinom {4}{2}}=6}$: xy, xz, xt, yz, yt, zt, и им соответствуют 6 плоскостей. Те из этих плоскостей, которые включают одноимённую ось, перпендикулярны в 3-мерном смысле и пересекаются по прямой (например, xy и xz, yz и zt), а те, которые не включают одноимённых осей, перпендикулярны в 4-мерном смысле и пересекаются в точке (например, xy и zt, yz и xt).

Перпендикулярность прямой и гиперплоскости

Пусть задано n-мерное евклидово пространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$(n>2) и ассоциированное с ним векторное пространство ${\displaystyle W^{n}}$, а прямая l с направляющим векторным пространством ${\displaystyle L^{1}}$ и гиперплоскость ${\displaystyle \Pi _{k}}$ с направляющим векторным пространством ${\displaystyle L^{k}}$ (где ${\displaystyle L_{1}\subset W^{n}}$, ${\displaystyle L^{k}\subset W^{n},\ k<n}$) принадлежат пространству ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

Прямая l называется перпендикулярной гиперплоскости ${\displaystyle \Pi _{k}}$, если подпространство ${\displaystyle L_{1}}$ ортогонально подпространству ${\displaystyle L^{k}}$, то есть ${\displaystyle (\forall {\vec {a}}\in L_{1})\ (\forall {\vec {b}}\in L_{k})\ {\vec {a}}{\vec {b}}=0}$

Вариации и обобщения

• В теории инверсии вводятся: окружность или прямая, перпендикулярные к окружности ${\displaystyle \Gamma }$.
• В теории окружностей и инверсии две окружности, пересекающиеся под прямым углом, называются ортогональными (перпендикулярными). Окружности можно считать ортогональными, если они образуют прямой угол друг с другом. Обычно угол между кривыми — это угол между их касательными, проведенными в точке их пересечения.
• В теории инверсии прямая перпендикулярна к окружности ${\displaystyle \Gamma }$, если она проходит через центр последней.

См. также

• Нормаль
• Параллельность
• Ортогональность
• Высота
• Теорема о трёх перпендикулярах

Примечания

1. Словарь иностранных слов. — М.: «Русский язык», 1989. — 624 с. ISBN 5-200-00408-8
2. А. П. Киселёв. Элементарная геометрия / под редакцией Н. А. Глаголева. — 1938.
3. Александров А.Д., Вернер А. Л., Рыжик В.И. Стереометрия. Геометрия в пространстве. — Висагинас: Alfa, 1998. — С. 46. — 576 с. — (Библиотека школьника). — ISBN 9986582539.