Подерное преобразование

Основная статья: Подера

Поде́рное преобразова́ние кривой относительно фиксированной точки — преобразование плоскости, отображающее любую кривую плоскости в другую кривую следующим образом: каждая точка исходной кривой отображается в основание перпендикуляра, опущенного из данной фиксированной точки на касательную к исходной кривой, проведённую в текущей точке. Фиксированная точка называется центром преобразования^[1]. Линия, в которую отображается исходная кривая, называется подерой^[2][3][4].

Улитка Паскаля — подера окружности

Подерное преобразование есть неточечное преобразование, поскольку оно отображает кривую в кривую, то есть это преобразование в множестве кривых, причём его не получится представить как преобразование в множестве точек^[5], так как оно не сохраняет точки, прямые и окружности^[1].

Например^[6]:

• подера прямой есть точка — основание перпендикуляра, опущенного из центра преобразования на прямую;
• подера точки, представленной как пучок прямых, «касательных» к этой точке, есть окружность с диаметром — отрезком с концами в исходной точке и в центре преобразования;
• подера окружности относительно своего центра, — эта же окружность;
• подера окружности относительно точки, лежащей не в центре окружности, — это улитка Паскаля.

• Подера окружности — улитка Паскаля
• 
  Центр преобразования внутри окружности
• 
  Центр преобразования на окружности — кардиоида
• 
  Центр преобразования вне окружности

Подерное преобразование как касательное

Подерное преобразование можно представить не только как отображение линни в линию (прямая и точка считаются линиями), но и как отображение линейного элемента плоскости в линейный элемент^[7].

При подерном преобразовании его центр и любая точка исходной кривой вместе с её касательной полностью определяют^[7]:

• точку подеры, соответствующую точке исходной кривой;
• касательную к подере в этой точке.

Любая точка подеры определяется по определению. Касательная к подере в данной точке определяется как касательная к окружности, проходящей через три точки: центр подерного преобразования, точку подеры и её прообраз на исходной кривой. Диаметр этой окружности — отрезок с концами в центре подерного преобразования и точке подеры^[7][8].

Отсюда следует, что подерное преобразование отображает кривые, касающиеся друг друга в некоторой точке, в подеры, касающиеся друг в друга в точке, в которую отображается исходная точка. Иначе точка кривой с заданным в ней направлением отображается подерным преобразованием в току подеры с заданным в ней направлением. Следовательно, подерное преобразование отображает линейный элемент плоскости в линейный элемент, то есть действует в множестве линейных элементов^[9].

Таким образом, подерное преобразование отображает кривую, представляющую собой набор своих линейных элементов, в подеру, составленную из линейны элементов, в которые отображаются линейные элементы исходной кривой. То есть подерное преобразование есть касательное преобразование (преобразование Ли)^[9].

Примечания

1. Яглом И. М., Атанасян Л. С. Геометрические преобразования, 1963, 8.4. Подерное преобразование, с. 134.
2. Иванов А. Б. Подера, 1984.
3. Подера и антиподера, 1975.
4. Смогоржевский А. С., Столова Е. С. Справочник по теории плоских кривых 3-го порядка, 1961, с. 64.
5. Яглом И. М., Атанасян Л. С. Геометрические преобразования, 1963, 8.4. Подерное преобразование, с. 124.
6. Яглом И. М., Атанасян Л. С. Геометрические преобразования, 1963, 8.4. Подерное преобразование, с. 134—135.
7. Яглом И. М., Атанасян Л. С. Геометрические преобразования, 1963, 8.4. Подерное преобразование, с. 135, 136.
8. Lawrence J. D. A Catalog of Special Plane Curves, 1972, 1.1. Coordinate Systems, p. 48.
9. Яглом И. М., Атанасян Л. С. Геометрические преобразования, 1963, 8.4. Подерное преобразование, с. 136.

Источники

• Иванов А. Б. Подера // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 4 Ок—Сло. М.: «Советская Энциклопедия», 1984. 1216 стб., ил. Стб. 370.
• Подера и антиподера // Большая советская энциклопедия. (В 30 томах) Гл. ред. А. М. Прохоров. Изд. 3-е. М.: «Советская энциклопедия», 1975. Т. 20. Плата — проб. 1975. 608 с. с илл., 17 л. илл., 4 л. карт. С. 109.
• Яглом И. М., Атанасян Л. С. Геометрические преобразования // Энциклопедия элементарной математики, книга четвёртая — геометрия / Гл. ред. П. С. Александров, А. И. Маркушевич, А. Я. Хинчин. Ред. книги 4: В. Г. Болтянский, И. М. Яглом. М.: Физматгиз, 1963. 568 с., ил. С. 49—158.
• Смогоржевский А. С., Столова Е. С. Справочник по теории плоских кривых 3-го порядка. М.: Физматлит, 1961. 271 с., ил.
• Lawrence J. D. A Catalog of Special Plane Curves. New York: Dover Publications, Inc., 1972. 218 p.