Кривая

У этого термина существуют и другие значения, см. Кривая (значения).

Крива́я или ли́ния — геометрическое понятие, определяемое в разных разделах математики различно.

Элементарная геометрия

В рамках элементарной геометрии понятие кривой не получает отчётливой формулировки. Например, в «Началах» Евклида она определялась как «длина без ширины», также иногда её определяли как «границу фигуры».

По существу в элементарной геометрии изучение кривых сводится к рассмотрению примеров (прямая, отрезок, ломаная, окружность и др.). Не располагая общими методами, элементарная геометрия довольно глубоко проникла в изучение свойств конкретных кривых (конические сечения, некоторые алгебраические кривые высших порядков и некоторые трансцендентные кривые), применяя в каждом случае специальные приёмы.

Определение в топологии

Отображение отрезка

Чаще всего кривая определяется как непрерывное отображение из отрезка в топологическое пространство:

${\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to X}$

При этом кривые могут быть различными, даже если их образы совпадают. Такие кривые называют параметризованными кривыми или, если ${\displaystyle [a,b]=[0,1]}$, путями.

Отношение эквивалентности

Иногда кривая определяется с точностью до репараметризации, то есть с точностью до минимального отношения эквивалентности такого, что параметрические кривые

${\displaystyle \gamma _{1}\colon [a_{1},b_{1}]\to X}$ и ${\displaystyle \gamma _{2}\colon [a_{2},b_{2}]\to X}$

эквивалентны, если существует непрерывная монотонная функция (иногда неубывающая) ${\displaystyle h}$ из отрезка ${\displaystyle [a_{1},b_{1}]}$ на отрезок ${\displaystyle [a_{2},b_{2}]}$, такая что

${\displaystyle \gamma _{1}\equiv \gamma _{2}\circ h.}$

Определяемые этим отношением классы эквивалентности называются непараметризованными кривыми или просто кривыми.

Комментарий

Приведённое определение во многом позволяет передать наше интуитивное представление о кривой как о чём-то, «нарисованном без отрыва карандаша». Однако это определение является слишком слабым, поскольку ему удовлетворяют многие фигуры, которые трудно считать кривыми.

Например, возможно построить такое непрерывное отображение отрезка в плоскость, что его образ заполняет квадрат (см. кривая Пеано). Более того, согласно теореме Мазуркевича, любое компактное связное и локально связное топологическое пространство является непрерывным образом отрезка. Таким образом, не только квадрат, но и куб любого числа измерений и даже гильбертов кирпич являются непрерывными образами отрезка.

Вышеизложенное показывает, что кривая не может быть определена как непрерывный образ отрезка, если на отображение не наложить дополнительных ограничений.

Кривая Жордана

Кривая Жордана на плоскости с положительной мерой Лебега.

Кривой Жордана или простой кривой называется образ непрерывного инъективного отображения (вложения) окружности или отрезка в пространство. В случае окружности кривая называется замкнутой кривой Жордана, а в случае отрезка — жордановой дугой.

Известная теорема Жордана утверждает, что любая замкнутая кривая Жордана на плоскости делит её на «внутреннюю» и «внешнюю» часть.

Кривая Жордана является довольно сложным объектом. Например, возможно построить плоскую кривую Жордана с ненулевой мерой Лебега, что было сделано Осгудом^[1] по аналогии с кривой Пеано.

Определение в анализе

В математическом анализе часто используется определение гладкой кривой. Определим сначала плоскую кривую (то есть кривую в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$). Пусть ${\displaystyle x(t)}$ и ${\displaystyle y(t)}$ — функции на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$, непрерывно дифференцируемые на этом отрезке, и такие, что ${\displaystyle (x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}}$ ни для какого t не равно нулю. Тогда отображение ${\displaystyle \gamma$ :[a,b]\to \mathbb {R} ^{2},t\mapsto (x(t),y(t))} задаёт кривую, которая является гладкой; непараметризованная кривая называется гладкой, если она допускает такую параметризацию. Длину гладкой кривой можно вычислить по формуле

${\displaystyle {\text{L}}(\gamma )=\int _{a}^{b}{\sqrt {(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}}}\,dt.}$

Это определение можно обобщить на отображения в другие пространства, а также на отображения другого класса гладкости, см. ниже.

Определение в дифференциальной геометрии

Основная статья: Дифференциальная геометрия кривых

Если ${\displaystyle X}$ — гладкое многообразие, можно определить гладкую кривую на ${\displaystyle X}$ как гладкое отображение ${\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to X}$, дифференциал которого нигде не обращается в нуль. Если класс гладкости многообразия ${\displaystyle X}$ равен ${\displaystyle k}$, то ${\displaystyle C_{k}}$-кривая вводится как кривая, для которой ${\displaystyle \gamma }$ — ${\displaystyle k}$ раз непрерывно дифференцируемое отображение. Если ${\displaystyle X}$ — аналитическое многообразие^[англ.] (например, евклидово пространство) и ${\displaystyle \gamma }$ — аналитическое отображение, кривую называют аналитической.

Гладкие кривые ${\displaystyle \gamma _{1}\colon I\to X}$ и ${\displaystyle \gamma _{2}\colon J\to X}$ называются эквивалентными, если существует диффеоморфизм ${\displaystyle p\colon I\to J}$ (замена параметра), такой что ${\displaystyle \gamma _{1}=\gamma _{2}\circ p}$. Классы эквивалентности по этому отношению называют непараметризованными гладкими кривыми.

Алгебраические кривые

Основная статья: Алгебраическая кривая

Алгебраические кривые изучаются в алгебраической геометрии. Плоская алгебраическая кривая — это множество точек с координатами ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, задаваемое множество решений уравнения ${\displaystyle f(x,y)=0}$, где ${\displaystyle f}$ — многочлен от двух переменных с коэффициентами в поле ${\displaystyle F}$. В алгебраической геометрии обычно принимают во внимание не только точки, координаты которых принадлежат ${\displaystyle F}$, но и точки с координатами в алгебраическом замыкании ${\displaystyle F}$. Если ${\displaystyle C}$ — плоская алгебраическая кривая, такая что коэффициенты определяющего её многочлена лежат в поле ${\displaystyle F}$, она называется кривой, определённой над ${\displaystyle F}$. Точки кривой, определённой над ${\displaystyle F}$, все координаты которых принадлежат ${\displaystyle G}$, называются рациональными над ${\displaystyle G}$ (или просто ${\displaystyle G}$-точками). Пример: кривая ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+1=0}$, определённая над действительными числами, имеет точки, однако ни одна из них не является действительной точкой.

Алгебраические кривые можно определить и в пространствах большей размерности; они определяются как множество решений системы полиномиальных уравнений.

Любая плоская кривая может быть дополнена до кривой на проективной плоскости. Если плоская кривая определяется многочленом ${\displaystyle f(x,y)}$ полной степени ${\displaystyle d}$, то многочлен

${\displaystyle z^{d}\cdot f(x/z,y/z)}$

после раскрытия скобок упрощается до однородного многочлена ${\displaystyle f(x,y,z)}$ степени ${\displaystyle d}$. Значения ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle z}$, такие что ${\displaystyle f(x,y,z)=0}$ — однородные координаты пополнения плоской кривой, при этом точки исходной кривой — это точки, для которых ${\displaystyle z}$ не равно нулю. Пример: кривая Ферма ${\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}}$ в аффинной форме принимает вид ${\displaystyle x^{n}+y^{n}=1}$. Процесс перехода от аффинной кривой к проективной можно обобщить и на более высокие размерности.

Часто встречающиеся примеры плоских кривых — коники (кривые второго порядка) и эллиптические кривые, имеющие важные приложения в криптографии. В качестве примеров алгебраических кривых, задаваемых уравнениями более высоких степеней, можно указать следующие:

• Кривые четвёртого порядка: лемниската Бернулли и овал Кассини.
• Кривые шестого порядка: астроида и нефроида.
• Кривая, определяемая уравнением произвольной чётной степени: (многофокусная) лемниската.

Трансцендентные кривые

Трансцендентные кривые — это кривые, не являющиеся алгебраическими. Более точно, трансцендентные кривые — кривые, которые можно задать как линию уровня аналитической, но не алгебраической функции (или, в многомерном случае, системы функций). Примеры трансцендентных кривых:

• Гипоциклоида
• Гиперболическая спираль
• Кардиоида
• Квадратриса
• Клотоида
• Роза (плоская кривая)
• Синусоида
• Синусоидальная спираль
• Спираль Архимеда
• Трактриса
• Трохоида
• Цепная линия
• Циклоида
• Циклоидальная кривая
• Циссоида Диокла
• Эпициклоида

Типы кривых

• Замкнутая кривая — кривая, у которой начало совпадает с концом.
• Плоская кривая — кривая, все точки которой лежат в одной плоскости.
• Простая кривая — то же, что кривая Жордана.
• Путь — непрерывное отображение отрезка ${\displaystyle [0,1]}$ в топологическое пространство.

Типы точек на кривой

• Точка излома
• Касп
• Точка перегиба
• Двойная точка

Ориентированная кривая

Обзорные статьи: Аналлагматическая геометрия и Ориентация

Две ориентированные окружности

Аналогично ориентации прямой любая замкнутая кривая ориентируема двумя способами^[2][3][4]:

• против часовой стрелки;
• по часовой стрелке.

На рисунке справа показаны две ориентированные окружности: окружность слева ориентирована против часовой стрелки, справа — по часовой стрелке^[2][3][4].

Ориентированная, или направленная, кривая — кривая вместе с фиксированным направлением на ней^[2][3][4].

Обобщённые кривые

Более общее определение кривой для случая плоскости было дано Кантором в 1870-e годы:

Канторовой кривой называется компактное связное подмножество плоскости такое, что его дополнение всюду плотно.

Важный пример канторовой кривой доставляет ковёр Серпинского. Какова бы ни была канторова кривая ${\displaystyle L}$, она может быть вложена в ковёр Серпинского, то есть в ковре Серпинского содержится подмножество ${\displaystyle L'}$, гомеоморфное ${\displaystyle L}$. Таким образом ковёр Серпинского является универсальной плоской канторовой кривой.

Впоследствии это определение было обобщено Урысоном:

Кривой Урысона называется связное компактное топологическое пространство ${\displaystyle C}$ топологической размерности 1.

Ковёр Серпинского удовлетворяет этому определению, так что всякая канторова кривая является также и кривой Урысона. Обратно, если плоский связный компакт является кривой Урысона, то он будет канторовой кривой.

См. также

• Кривая Осгуда
• Длина кривой
• Кривая второго порядка
• Кривизна
• Кривые и их каустики

Примечания

1. W. F. Osgood. A Jordan curve of positive area (англ.) // Trans. Am. Math. Soc.. — 1903. — Vol. 4. — P. 107–112.
2. Колмогоров А. Н. Ориентация, 1988, с. 436.
3. Ориентация 2, 1974, с. 509.
4. Ориентация в математике, 2022.

Источники

• Колмогоров А. Н. Ориентация // Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров; Ред. Кол.: С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. М.: «Советская энциклопедия», 1988. 847 с., ил. С. 436—437.
• Ориентация 2 // Большая советская энциклопедия. (В 30 томах) Гл. ред. А. М. Прохоров. Изд. 3-е. М.: «Советская энциклопедия», 1974. Т. 18. Никко — Отолиты. 1974. 632 с. с илл., 24 л. илл., 6 л. карт, 1 карта — вкладка. С. 509—510. Ориентация 2 // БСЭ 3-е издание. Основной вариант Архивная копия от 8 августа 2024 на Wayback Machine
• Ориентация в математике. 2022 // Большая российская энциклопедия Архивная копия от 29 сентября 2024 на Wayback Machine

Литература

• Болтянский В.Г., Ефремович В.А. Наглядная топология. — М.: Наука, 1982. — 160 с.
• Бураго Д. Ю., Бураго Ю. Д., Иванов С. В. Курс метрической геометрии. — Москва, Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. — 496 с. — (Современная математика). — ISBN 5-93972-300-4.
• Математический энциклопедический словарь. М. «Советская энциклопедия», 1988 г.
• Кривые // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.

Ссылки

• Caustics (англ.)
• Surfaces, curves (англ.)
• специальные плоские кривые  (рус.)