Точка излома

Точка излома или угловая точка — особая точка кривой^[1], обладающая тем свойством, что ветви кривой, на которые эта точка делит исходную кривую, имеют в этой точке различные (односторонние) касательные^[2][3]. Функция не является гладкой в данной точке.

Говорят, что функция имеет точку излома, если график функции имеет точку излома. Функция имеет точку излома, если она имеет правую и левую производные, которые различны между собой, то есть, выполняется неравенство${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}^{-}}f^{'}(x)\neq \lim _{x\to x_{0}^{+}}f^{'}(x)}$ и хотя бы один из них конечен (правый или левый предел не стремится к ${\displaystyle \pm \infty }$).

Точкой излома функции ${\displaystyle y=f(x)}$ является критическая точка первого рода в которой производная функции терпит разрыв (за исключением случая бесконечных односторонних производных одного знака)^[4], то есть правая и левая производные не совпадают^[2]. Точка излома нередко является точкой локального экстремума, в том случае если производные слева и справа имеют разный знак^[4].

Пример: функции y = | x | {\displaystyle y=|x|}

Функция ${\displaystyle y=|x|}$является непрерывной в точке (0,0). Производная равна ${\displaystyle y'=sgn(x)}$, которая терпит разрыв в точке (0,0). ${\displaystyle f'_{+}(0)=1;f'_{-}(0)=-1}$ — правая и левая производные не совпадают. Таким образом точка (0,0) является точкой излома функции.

Функции ${\displaystyle y=|x|}$

Примечания

1. Угловая точка // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.
2. А. Б. Иванов И. М. Виноградов. Излома точка // Математическая энциклопедия. — Советская энциклопедия (рус.). — М., 1977—1985. // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.
3. А. В. Иванов И. М. Виноградов. Особая точка // Математическая энциклопедия. — Советская энциклопедия (рус.). — М., 1977—1985. // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.
4. Иванов В. И., Васин С. И. Методические указания к изучению темы «Исследование функции». — М.: Российский государственный университет нефти и газа имени И. М. Губкина, 2010. — 35 с.

См. также

• Касп
• Дифференцируемая функция