Loading AI tools
самонепересекающаяся кривая (кривая или дуга Жордана) с положительной площадью Из Википедии, свободной энциклопедии
В математике кривая Осгуда — это самонепересекающаяся кривая (кривая или дуга Жордана) с положительной площадью[2]. Более формально, это кривые на евклидовой плоскости с положительной двумерной мерой Лебега.
Первые примеры таких кривых были найдены Вильямом Фогом Осгудом[3] и Лебегом[4]. Оба примера имеют положительную площадь в некоторых частях кривых, но нулевую площадь в других частях. Этот недостаток была исправлен Кноппом[5], который нашёл кривую, имеющую положительную площадь вблизи каждой её точки, основываясь на более ранних построениях Вацлава Серпинского. Пример Кноппа имеет дополнительные преимущества в том, что при построении площадь может составлять любую часть площади выпуклой оболочки[6].
Хотя большинство заполняющих пространство кривых не являются кривыми Осгуда (они имеют положительную площадь, но, зачастую, бесконечное число раз пересекают себя, что нарушает определение кривой Жордана), можно модифицировать рекурсивное построение заполняющих пространство кривых или фрактальных кривых, чтобы получить кривую Осгуда[7].
Первоначально Осгуд в своей публикации 1903 года рассмотрел кривую, заполняющую квадрат [8]. Именно эта ломаная получила его имя[1]. Позже это название было обобщено и на другие фигуры. Например, построение Кноппа использует рекурсивное разделение треугольников на пары меньших треугольников, имеющих общую вершину, путём удаления клиньев. Если удаляемые клинья на каждом уровне построения составляют не меняющуюся (дробную) часть площади треугольников, в результате получим фрактал Чезаро, подобный кривой Коха, но при удалении клиньев, площади которых уменьшаются быстрее, получаем кривую Осгуда[6].
Другой путь построения кривой Осгуда — это использование двумерной версии множества Смита — Волтерра — Кантора[англ.], вполне несвязного множества точек с ненулевой площадью, к которому применяется теорема Данжуа — Риса[англ.], согласно которой любое ограниченное и вполне несвязное подмножество плоскости является подмножеством жордановой кривой[9].
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.
