Образ (математика)

Образ функции — это множество всех значений данной функции.

${\displaystyle f}$ — это функция из области определения ${\displaystyle X}$ в кодомен ${\displaystyle Y}$. Жёлтый овал внутри ${\displaystyle Y}$ — это образ функции ${\displaystyle f}$.

В более общем виде, вычисление значения заданной функции ${\displaystyle f}$ для каждого элемента заданного подмножества ${\displaystyle A}$ области определения функции даёт множество, называемое «образом ${\displaystyle A}$ для функции ${\displaystyle f}$». Аналогично, обратный образ (или прообраз) заданного подмножества ${\displaystyle B}$ кодомена функции ${\displaystyle f}$ — это множество всех элементов области определения, которые отображаются в элементы множества ${\displaystyle B}$.

Образ и обратный образ могут также быть определены для общих бинарных отношений, а не только функций.

Определение

Термин «образ» используется тремя связанными способами. В этих определениях ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ — это функция из множества ${\displaystyle X}$ в множество ${\displaystyle Y}$.

Образ элемента

Если ${\displaystyle x}$ является элементом множества ${\displaystyle X}$, то образ элемента ${\displaystyle x}$ для функции ${\displaystyle f}$, обозначаемый ${\displaystyle f(x)}$^[1], — это значение функции ${\displaystyle f}$ для аргумента ${\displaystyle x}$.

Образ подмножества

Образ подмножества ${\displaystyle A\subseteq X}$ для функции ${\displaystyle f}$, обозначаемый ${\displaystyle f[A]}$, является подмножеством множества ${\displaystyle Y}$, которое может быть определено с помощью следующей формы записи^[2]:

${\displaystyle f[A]=\{f(x)\mid x\in A\}}$.

Если нет риска путаницы, ${\displaystyle f[A]}$ записывается просто как ${\displaystyle f(A)}$. Это соглашение является общепринятым. Предполагаемый смысл должен быть определён из контекста. Это делает ${\displaystyle f[.]}$ функцией, областью определения которой является степень множества ${\displaystyle X}$ (множество всех подмножеств множества ${\displaystyle X}$), а кодоменом является степень множества ${\displaystyle Y}$. См. раздел § Обозначения.

Образ функции

Образ функции — это образ всей области определения, известный также как область значений функции^[3].

Обобщение к бинарным отношениям

Если ${\displaystyle R}$ является произвольным бинарным отношением на прямом произведении ${\displaystyle X\times Y}$, то множество ${\displaystyle \{y\in Y\|xRy,x\in X\}}$ называется образом отношения ${\displaystyle R}$. Множество ${\displaystyle \{x\in X|xRy,y\in Y\}}$ называется областью определения отношения ${\displaystyle R}$.

Обратный образ

Пусть ${\displaystyle f}$ будет функцией из ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle Y}$. Прообраз, или обратный образ, множества ${\displaystyle B\subseteq Y}$ для функции ${\displaystyle f}$, обозначаемый ${\displaystyle f^{-1}[B]}$, — это подмножество ${\displaystyle X}$, определённое как

${\displaystyle f^{-1}[B]=\{x\in X\,|\,f(x)\in B\}.}$

Возможны и другие обозначения, как например ${\displaystyle f^{-1}(B)}$^[4] и ${\displaystyle f^{-}(B)}$.^[5]

Обратный образ синглетона, обозначаемый ${\displaystyle f^{-1}[\{y\}]}$ или ${\displaystyle f^{-1}[y]}$, называется также слоем для ${\displaystyle y}$ или множеством уровня элемента ${\displaystyle y}$. Множество всех слоёв для элементов ${\displaystyle Y}$ — это семейство подмножеств, индексированных элементами ${\displaystyle Y}$.

Например, для функции ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ обратным образом ${\displaystyle \{4\}}$ будет ${\displaystyle \{-2,2\}}$. Как было сказано выше, если нет риска путаницы, ${\displaystyle f^{-1}[B]}$ может обозначаться как ${\displaystyle f^{-1}(B)}$, а ${\displaystyle f^{-1}}$ можно рассматривать как функцию из множества всех подмножеств (булеана) множества ${\displaystyle Y}$ в булеан множества ${\displaystyle X}$. Обозначение ${\displaystyle f^{-1}}$ не следует путать с обратной функцией, хотя оно и согласуется с обычной обратной функцией для биекций в том, что обратный образ ${\displaystyle B}$ для ${\displaystyle f}$ является образом ${\displaystyle B}$ для ${\displaystyle f^{-1}}$.

Обозначения для образа и обратного образа

Традиционные обозначения, использованные в предыдущих разделах, могут вызвать сложности в понимании. Альтернативой^[6] является задание явных имён для образа и прообраза функций между булеанами.

Стрелочные обозначения

• ${\displaystyle f^{\to }:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y)}$ для ${\displaystyle f^{\to }(A)=\{f(a)\;|\;a\in A\}}$
• ${\displaystyle f^{\leftarrow }:{\mathcal {P}}(Y)\to {\mathcal {P}}(X)}$ для ${\displaystyle f^{\leftarrow }(B)=\{a\in X\;|\;f(a)\in B\}}$

Обозначения со звёздочками

• ${\displaystyle f_{\star }:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y)}$ вместо ${\displaystyle f^{\to }}$
• ${\displaystyle f^{\star }:{\mathcal {P}}(Y)\to {\mathcal {P}}(X)}$ вместо ${\displaystyle f^{\leftarrow }}$

Другая терминология

• Альтернативным обозначением для ${\displaystyle f[A]}$, используемым в математической логике и теории множеств, является ${\displaystyle f^{\prime \prime }A}$^[7][8].
• Некоторые книги называют образ ${\displaystyle f}$ областью значений ${\displaystyle f}$, но этого следует избегать, поскольку термин «область значений» широко используется также для обозначения кодомена функции ${\displaystyle f}$.

Примеры

1. ${\displaystyle f\colon \{1,2,3\}\to \{a,b,c,d\}}$ определена как ${\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{matrix}a,&x=1;\\a,&x=2;\\c,&x=3.\end{matrix}}\right.}$
   Образом множества {2, 3} для функции ${\displaystyle f}$ является ${\displaystyle f(\{2,3\})=\{a,c\}}$. Образ функции ${\displaystyle f}$ — это ${\displaystyle \{a,c\}}$. Прообразом ${\displaystyle a}$ является ${\displaystyle f^{-1}(\{a\})=\{1,2\}}$. Прообразом множества ${\displaystyle \{a,b\}}$ также является ${\displaystyle \{1,2\}}$. Прообразом множества ${\displaystyle \{b,d\}}$ является пустое множество ${\displaystyle \{\}}$.
2. ${\displaystyle f\colon \mathbf {R} \to \mathbf {R} }$ определена как ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$.
   Образ ${\displaystyle \{-2,3\}}$ для функции ${\displaystyle f}$ — это ${\displaystyle f(\{-2,3\})=\{4,9\}}$, а образ функции ${\displaystyle f}$ — это ${\displaystyle \mathbf {R} ^{+}}$. Прообраз ${\displaystyle \{4,9\}}$ для ${\displaystyle f}$ — это ${\displaystyle f^{-1}(\{4,9\})=\{-3,-2,2,3\}}$. Прообраз множества ${\displaystyle N=\{n\in \mathbf {R} \|n<0\}}$ для ${\displaystyle f}$ — это пустое множество, поскольку отрицательные числа не имеют квадратных корней в множестве вещественных чисел.
3. ${\displaystyle f\colon \mathbf {R} ^{2}\to \mathbf {R} }$ определена как ${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}}$.
   Слои ${\displaystyle f^{-1}(\{a\})}$ являются концентрическими окружностями с центром в начале координат, единственной точкой начала координат или пустым множеством в зависимости от значений ${\displaystyle a}$ (${\displaystyle a>0}$, ${\displaystyle a=0}$ или ${\displaystyle a<0}$ соответственно).
4. Если ${\displaystyle M}$ — это многообразие, а ${\displaystyle \pi :TM\to M}$ — это каноническая проекция из касательного расслоения ${\displaystyle TM}$ в ${\displaystyle M}$, то слоями отображения ${\displaystyle \pi }$ являются касательные пространства ${\displaystyle T_{x}(M)}$ для ${\displaystyle x\in M}$. Это также пример расслоённого пространства.
5. Факторгруппа — это гомоморфный образ.

Свойства

См. также: Алгебра множеств

Контрпримеры

Контрпримеры на основе ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,x\mapsto x^{2}}$, показывающие, что это равенство обычно не выполняется для некоторых законов
${\displaystyle f(A_{1}\cap A_{2})\varsubsetneq f(A_{1})\cap f(A_{2})}$
${\displaystyle f(f^{-1}(B_{3}))\subseteq B_{3}}$
${\displaystyle f^{-1}(f(A_{4}))\supseteq A_{4}}$

Общий случай

Для любой функции ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ и всех подмножеств ${\displaystyle A\subseteq X}$ и ${\displaystyle B\subseteq Y}$ выполняются следующие свойства:

Образ	Прообраз
${\displaystyle f(X)\subseteq Y}$	${\displaystyle f^{-1}(Y)=X}$
${\displaystyle f(f^{-1}(Y))=f(X)}$	${\displaystyle f^{-1}(f(X))=X}$
${\displaystyle f(f^{-1}(B))\subseteq B}$ (равны, если ${\displaystyle B\subseteq f(X)}$, т.е. ${\displaystyle f}$ сюръектвна)[9][10]	${\displaystyle f^{-1}(f(A))\supseteq A}$ (равны, если ${\displaystyle f}$ инъективна) [11][10]
${\displaystyle f(f^{-1}(B))=B\cap f(X)}$	${\displaystyle (f\vert _{A})^{-1}(B)=A\cap f^{-1}(B)}$
${\displaystyle f(f^{-1}(f(A)))=f(A)}$	${\displaystyle f^{-1}(f(f^{-1}(B)))=f^{-1}(B)}$
${\displaystyle f(A)=\varnothing \Leftrightarrow A=\varnothing }$	${\displaystyle f^{-1}(B)=\varnothing \Leftrightarrow B\subseteq Y\setminus f(X)}$
${\displaystyle f(A)\supseteq B\Leftrightarrow \exists C\subseteq A:f(C)=B}$	${\displaystyle f^{-1}(B)\supseteq A\Leftrightarrow f(A)\subseteq B}$
${\displaystyle f(A)\supseteq f(X\setminus A)\Leftrightarrow f(A)=f(X)}$	${\displaystyle f^{-1}(B)\supseteq f^{-1}(Y\setminus B)\Leftrightarrow f^{-1}(B)=X}$
${\displaystyle f(X\setminus A)\supseteq f(X)\setminus f(A)}$	${\displaystyle f^{-1}(Y\setminus B)=X\setminus f^{-1}(B)}$[9]
${\displaystyle f(A\cup f^{-1}(B))\subseteq f(A)\cup B}$[12]	${\displaystyle f^{-1}(f(A)\cup B)\supseteq A\cup f^{-1}(B)}$[12]
${\displaystyle f(A\cap f^{-1}(B))=f(A)\cap B}$[12]	${\displaystyle f^{-1}(f(A)\cap B)\supseteq A\cap f^{-1}(B)}$[12]

Также:

• ${\displaystyle f(A)\cap B=\varnothing \Leftrightarrow A\cap f^{-1}(B)=\varnothing }$

Для нескольких функций

Для функций ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ и ${\displaystyle g\colon Y\to Z}$ с подмножествами ${\displaystyle A\subseteq X}$ и ${\displaystyle C\subseteq Z}$ выполняются следующие свойства:

• ${\displaystyle (g\circ f)(A)=g(f(A))}$
• ${\displaystyle (g\circ f)^{-1}(C)=f^{-1}(g^{-1}(C))}$

Несколько подмножеств домена или кодомена

Для функции ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ и подмножеств ${\displaystyle A_{1},A_{2}\subseteq X}$ и ${\displaystyle B_{1},B_{2}\subseteq Y}$ выполняются следующие свойства:

Образ	Прообраз
${\displaystyle A_{1}\subseteq A_{2}\Rightarrow f(A_{1})\subseteq f(A_{2})}$	${\displaystyle B_{1}\subseteq B_{2}\Rightarrow f^{-1}(B_{1})\subseteq f^{-1}(B_{2})}$
${\displaystyle f(A_{1}\cup A_{2})=f(A_{1})\cup f(A_{2})}$[12][13]	${\displaystyle f^{-1}(B_{1}\cup B_{2})=f^{-1}(B_{1})\cup f^{-1}(B_{2})}$
${\displaystyle f(A_{1}\cap A_{2})\subseteq f(A_{1})\cap f(A_{2})}$[12][13] (равны, если ${\displaystyle f}$ инъективна[14])	${\displaystyle f^{-1}(B_{1}\cap B_{2})=f^{-1}(B_{1})\cap f^{-1}(B_{2})}$
${\displaystyle f(A_{1}\setminus A_{2})\supseteq f(A_{1})\setminus f(A_{2})}$[12] (равны, если ${\displaystyle f}$ инъективна[14])	${\displaystyle f^{-1}(B_{1}\setminus B_{2})=f^{-1}(B_{1})\setminus f^{-1}(B_{2})}$[12]
${\displaystyle f(A_{1}\triangle A_{2})\supseteq f(A_{1})\triangle f(A_{2})}$ (равны , если ${\displaystyle f}$ инъективна)	${\displaystyle f^{-1}(B_{1}\triangle B_{2})=f^{-1}(B_{1})\triangle f^{-1}(B_{2})}$

Результаты для образов и прообразов (булевой) алгебры пересечений и объединений работает для любой коллекции подмножеств, не только для пар подмножеств:

• ${\displaystyle f\left(\bigcup _{s\in S}A_{s}\right)=\bigcup _{s\in S}f(A_{s})}$
• ${\displaystyle f\left(\bigcap _{s\in S}A_{s}\right)\subseteq \bigcap _{s\in S}f(A_{s})}$
• ${\displaystyle f^{-1}\left(\bigcup _{s\in S}B_{s}\right)=\bigcup _{s\in S}f^{-1}(B_{s})}$
• ${\displaystyle f^{-1}\left(\bigcap _{s\in S}B_{s}\right)=\bigcap _{s\in S}f^{-1}(B_{s})}$

(Здесь ${\displaystyle S}$ может быть бесконечным множеством, даже несчётным.)

Что касается описанной выше алгебры подмножеств, обратная отображающая функция — это гомоморфизм решётки, в то время как отображающая функция — это лишь гомоморфизм полурешёток (т. е. она не всегда сохраняет пересечения).

См. также

• Биекция, инъекция и сюръекция^[англ.]
• Образ (теория категорий)^[англ.]
• Ядро (теория множеств)^[англ.]

Примечания

1. Compendium of Mathematical Symbols (амер. англ.). Math Vault (1 марта 2020). Дата обращения: 28 августа 2020. Архивировано 6 декабря 2020 года.
2. 5.4: Onto Functions and Images/Preimages of Sets (англ.). Mathematics LibreTexts (5 ноября 2019). Дата обращения: 28 августа 2020. Архивировано 27 октября 2020 года.
3. Weisstein, Eric W. Image (англ.). mathworld.wolfram.com. Дата обращения: 28 августа 2020. Архивировано 19 марта 2020 года.
4. Comprehensive List of Algebra Symbols (амер. англ.). Math Vault (25 марта 2020). Дата обращения: 28 августа 2020. Архивировано 1 апреля 2020 года.
5. Dolecki, Mynard, 2016, с. 4-5.
6. Blyth, 2005, p. 5.
7. Rubin, 1967.
8. M. Randall Holmes: Inhomogeneity of the urelements in the usual models of NFU Архивная копия от 7 февраля 2018 на Wayback Machine, December 29, 2005, on: Semantic Scholar, p. 2
9. Halmos, 1960, с. 39.
10. Munkres, 2000, с. 19.
11. Halmos, 1960, с. 31.
12. Lee, 2011, с. 388.
13. Kelley, 1985, p. 85
14. Munkres, 2000, с. 21.

Литература

• John M. Lee. Introduction to topological manifolds. — 2nd. — New York, Dordrecht, Heidelberg, London: Springer, 2011. — Т. 202. — (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 978-1-4419-7939-1.
• Jean E. Rubin. Set Theory for the Mathematician. — Holden-Day, 1967. — С. xix.
• Michael Artin. Algebra. — Prentice Hall, 1991. — ISBN 81-203-0871-9.
• T.S. Blyth. Lattices and Ordered Algebraic Structures. — Springer, 2005. — ISBN 1-85233-905-5.
• Szymon Dolecki, Frederic Mynard. Convergence Foundations Of Topology. — New Jersey: World Scientific Publishing Company, 2016. — ISBN 978-981-4571-53-4.
• Paul R. Halmos. Naive set theory. — van Nostrand Company, 1960. — (The University Series in Undergraduate Mathematics).
• John L. Kelley. General Topology. — 2. — Birkhäuser, 1985. — Т. 27. — (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 978-0-387-90125-1.
• James R. Munkres. Topology. — Second ed.. — Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, Inc., 2000. — ISBN 978-0-13-181629-9.