Алгебраическая функция

Алгебраическая функция — элементарная функция, которая в окрестности каждой точки области определения может быть неявно задана с помощью алгебраического уравнения.

Формальное определение:

Функция ${\displaystyle F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ называется алгебраической в точке ${\displaystyle A=(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})}$, если существует окрестность точки ${\displaystyle A}$, в которой верно тождество

${\displaystyle P(F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=0.}$

где ${\displaystyle P}$ есть многочлен от ${\displaystyle n+1}$ переменной.

Функция называется алгебраической, если она является алгебраической в каждой точке области определения.

Например, функция действительного переменного ${\displaystyle F(x)={\sqrt {1-x^{2}}}}$ является алгебраической на интервале ${\displaystyle (-1,1)}$ в поле действительных чисел, так как она удовлетворяет уравнению

${\displaystyle F^{2}+x^{2}=1.}$

Существует аналитическое продолжение функции ${\displaystyle F(x)={\sqrt {1-x^{2}}}}$ на комплексную плоскость, с вырезанным отрезком ${\displaystyle [-1,1]}$ или с двумя вырезанными лучами ${\displaystyle (-\infty ,-1]}$ и ${\displaystyle [1,\infty )}$. В этой области полученная функция комплексного переменного является алгебраической и аналитической.

Известно, что если функция является алгебраической в точке, то она является и аналитической в данной точке. Обратное неверно. Функции, являющиеся аналитическими, но не являющиеся алгебраическими, называются трансцендентными.

Частные случаи

Частными случаями алгебраических функций являются:

• степенная функция;
• рациональная функция;

Алгебраические и трансцендентные числа

Основные статьи: Алгебраическое число и Трансцендентное число

Действительные числа, которые являются корнем какого-то алгебраического уравнения с рациональными коэффициентами, называются алгебраическими. Действительные числа, которые не являются корнем никакого алгебраического уравнения с рациональными коэффициентами, называются трансцендентными.

Все рациональные числа являются алгебраическими. Среди иррациональных чисел есть как алгебраические, так и трансцендентные. Например, ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ — алгебраическое иррациональное число, а ${\displaystyle \pi }$ — трансцендентное иррациональное число.

См. также

• Аналитическая функция
• Трансцендентная функция

Литература

• Голубев В. В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. — М.—Л.: ГОСТЕХТЕОРИЗДАТ, 1941. — 400 с.