Гладкое многообразие — многообразие, наделенное гладкой структурой.
Гладкие многообразия являются естественной базой для построения дифференциальной геометрии.
На дифференциальных многообразиях вводятся дополнительные инфинитезимальные структуры — касательное пространство, ориентация, метрика, связность и т. д., и изучаются те свойства, связанные с этими объектами, которые инвариантны относительно группы диффеоморфизмов, сохраняющих дополнительную структуру.
Пусть
— хаусдорфово топологическое пространство.
Если для каждой точки
найдется её окрестность
, гомеоморфная открытому подмножеству пространства
, то
называется локально евклидовым пространством, или топологическим многообразием размерности
.
Пара
, где
— указанный гомеоморфизм, называется локальной картой
в точке
.
Таким образом, каждой точке соответствует набор
вещественных чисел
, которые называются координатами в карте
.
Множество карт
называется
-атласом
многообразия
, если:
- совокупность всех
покрывает
, т.е. ![{\displaystyle X=\cup _{\alpha \in A}U_{\alpha }}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de670fb45ed2e59b467f9acd563667cfad0a1eb4)
- для любых
таких, что
, отображение:
![{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddca59335034dc46036ac8ba7f0a52f24b49258f)
- является гладким отображением класса
;
является отображением с отличным от нуля якобианом и называется отображением склейки карты
с картой ![{\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae4cd9c0f235da70bca0c20ea8b8de2837eafd60)
Два
-атласа называются эквивалентными, если их объединение снова образует
-атлас.
Совокупность
-атласов разбивается на классы эквивалентности, называемые
-структурами, при
— дифференциальными (или гладкими) структурами.
Топологическое многообразие
, наделенное
-структурой, называется
-гладким многообразием.
Замечания
- Если дополнительно отображения склейки являются аналитическими, то это определение даёт аналитическую структуру, иногда обозначаемую
-структурой.
Совместимые структуры
На любом аналитическом многообразии существует согласованная с ней
-структура, и на
-многообразии,
, —
-структура, если
. Наоборот, любое паракомпактное
-многообразие,
, можно наделить аналитической структурой, совместимой с заданной, причем эта структура (с точностью до изоморфизма) единственная. Может, однако, случиться, что
-многообразие нельзя наделить
-структурой, а если это удается, то такая структура может быть не единственной. Например, число
-неизоморфных
-структур на
-мерной сфере равно:
Отображения
Пусть
— непрерывное отображение
-многообразий
; оно называется
-морфизмом (или
-отображением,
, или отображением класса
) гладких многообразий, если для любой пары карт
на X и
на Y такой, что
и отображение:
![{\displaystyle \psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40c4ca8793e210917a8cec613c040b0adce2f2e7)
принадлежит классу
. Биективное отображение
, если оно и
являются
-отображениями, называется
-изоморфизмом (или диффеоморфизмом). В этом случае
и
и их
-структуры называются
-изоморфными.
Подмножество
-мерного
-многообразия
называется
-подмногообразием размерности
в
, если для произвольной точки
существует карта
-структуры
, такая, что
и
индуцирует гомеоморфизм
с (замкнутым) подпространством
; иными словами, существует карта с координатами
, такая, что
определяется соотношениями
.
Отображение
называется
-вложением, если
является
-подмногообразием в
, а
—
-диффеоморфизм.
Любое
-мерное
-многообразие допускает вложение в
, а также в
Более того, множество таких вложений является везде плотным в пространстве отображений
относительно компактно-открытой топологии.
Тем самым, рассмотрение гладких многообразий как подмногообразий евклидова пространства дает один из способов изучения их теории, этим путём устанавливаются, например, указанные выше теоремы об аналитических структурах.
- Бурбаки Н. Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов / пер. с франц. Г. И. Ольшанского. — М.: Мир, 1975. — 220 с.
- Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 760 с.
- Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — М.: Наука, 1981. — Т. 1. — 344 с.
- де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия / пер. с франц. Д. А. Василькова. — М.: ИЛ, 1956. — 250 с.
- Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий / пер. с англ. И. М. Дектярева. — М.: Мир, 1967. — 203 с.
- Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях / пер. с англ. Е. М. Чирки. — М.: Мир, 1971. — 232 с.
- Понтрягин Л. С. Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий. — 2-е изд. — М.: Наука, 1976. — 176 с.
- Постников М. М. Введение в теорию Морса. — М.: Наука, 1971. — 568 с.
- Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — М.: Наука, 1977. — 487 с.
- Уитни X. Геометрическая теория интегрирования / пер. с англ. И. А. Вайнштейна. — М.: ИЛ, 1960. — 355 с.
- Уэллс Р. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях / пер. с англ. под ред. Б. С. Митягина. — М.: Мир, 1976. — 284 с.