Компактно-открытая топология

Компактно-открытая топология — естественная топология на пространстве ${\displaystyle C(X,Y)}$ — пространстве непрерывных отображений между двумя топологическими пространствами ${\displaystyle X\to Y}$, предбазу которой образуют множества отображений вида

${\displaystyle W_{K,U}=\{f\in C(X,Y)|f(K)\subset U\},}$

где ${\displaystyle U\subset Y}$ — открытое множество, а ${\displaystyle K\subset X}$ — компактное множество.

Свойства

• Если ${\displaystyle X}$ компактно, а ${\displaystyle Y}$ метрическое пространство, то сходимость последовательности функций ${\displaystyle f_{n}}$ в ${\displaystyle C(X,Y)}$ означает равномерную сходимость.
  • Более общо: если ${\displaystyle Y}$ метрическое пространство, то сходимость последовательности функций ${\displaystyle f_{n}}$ в ${\displaystyle C(X,Y)}$ означает равномерную сходимость сужений ${\displaystyle f_{n}|K}$ для любого компактного множества ${\displaystyle K\subset X}$.

Литература

• О. Я. Виро, О. А. Иванов, В. М. Харламов и Н. Ю. Нецветаев Задачный учебник по топологии