Tetraedro

Na geometria, um tetraedro, também conhecido como uma pirâmide triangular, é um poliedro composto por quatro faces triangulares, três delas encontrando-se em cada vértice. O tetraedro regular é um sólido platónico, figura geométrica espacial formada por quatro triângulos equiláteros (triângulos que possuem lados com medidas iguais); possui 4 vértices , 4 faces e 6 arestas.^[1]

Tetraedro
Tetraedro
Tipo	Sólido platônico
Faces	4
Arestas	6
Vértices	4
Símbolo de Schläfli	{3,3} h{4,3}, s{2,4}, sr{2,2}
Símbolo de Wythoff	3
Grupo de simetria	Tetraédrico (Td)
Área de superfície	${\displaystyle {\sqrt {3}}a^{2}}$
Volume	${\displaystyle {1 \over 3}A_{0}H={{\sqrt {2}} \over 12}a^{3}}$
Ângulo diédrico	${\displaystyle \arccos \left({\frac {1}{3}}\right)}$
Poliedro dual	autodual
Propriedades
Regular, Convexo, Deltaedro
Planificação

O tetraedro é a manifestação tridimensional do conceito simples de Euclides e, portanto, também pode ser chamado de 3-simples. Pode ser definido, também, como um tipo de pirâmide com uma base de polígono plana e faces triangulares que conectam a base a uma ponto comum. No caso de um tetraedro, a base é um triângulo (qualquer uma das quatro faces pode ser considerada base), então um tetraedro também é conhecido como uma "pirâmide triangular".

Como todos os poliedros convexos, um tetraedro pode ser dobrado a partir de uma única folha de papel.

Para qualquer tetraedro existe uma esfera circunscrita em que se encontram os quatro vértices e outra esfera inscrita tangente às faces do tetraedro.

Fórmulas para o tetraedro regular

Em um tetraedro regular cujas arestas medem ${\displaystyle a:}$

Área da base	${\displaystyle A_{0}={{\sqrt {3}} \over 4}a^{2}}$
Área da superfície[2]	${\displaystyle A=4\,A_{0}={\sqrt {3}}a^{2}}$
Altura[3]	${\displaystyle H={{\sqrt {6}} \over 3}a}$
Distância do centroide a um vértice	${\displaystyle {\frac {3}{4}}\,H={\frac {\sqrt {6}}{4}}\,a={\sqrt {\frac {3}{8}}}\,a\,}$
Volume[2]	${\displaystyle V={1 \over 3}A_{0}H={{\sqrt {2}} \over 12}a^{3}}$
Ângulo entre uma aresta e uma face	${\displaystyle \arccos \left({1 \over {\sqrt {3}}}\right)=\arctan({\sqrt {2}})}$ (aproximadamente 54.7356°)
Ângulo entre duas faces[2]	${\displaystyle \arccos \left({1 \over 3}\right)=\arctan(2{\sqrt {2}})}$ (aproximadamente 70.5288°)
Ângulo entre os segmentos que unem o centro e os vértices,[4] também conhecido como ângulo tetraédrico	${\displaystyle \arccos \left({-1 \over 3}\right)=2\arctan({\sqrt {2}})}$ (aproximadamente 109.4691°)
Ângulo sólido em um vértice subentendido por uma face	${\displaystyle \arccos \left({23 \over 27}\right)}$ (aproximadamente 0.55129 esferorradianos)
Raio da esfera circunscrita[2]	${\displaystyle R={\sqrt {3 \over 8}}\,a}$
Raio da esfera inscrita que é tangente às faces[2]	${\displaystyle r={1 \over 3}R={a \over {\sqrt {24}}}}$
Raio da esfera tangente a todas as arestas[2]	${\displaystyle r_{M}={\sqrt {rR}}={a \over {\sqrt {8}}}}$
Raio das exoesferas	${\displaystyle r_{E}={a \over {\sqrt {6}}}}$
Distância de um vértice ao centro da exosfera	${\displaystyle {\sqrt {3 \over 8}}\,a}$

Propriedades

A razão entre o raio da esfera circunscrita no tetraedro e a esfera inscrita é de 3:1.^[5]

É o sólido regular que possui a minima superfície para o mesmo volume.^[6]

Tetraedro na natureza

Numerosos minerais e compostos químicos têm uma estrutura tetraédrica.

Estrutura da molécula de metano

• Metano
• Amina
• Dióxido de silício
• Piroxena
• Cloreto de zinco
• Tetracloreto de carbono
• Níquel tetracarbonilo
• Perclorato
• Cloreto de cromilo
• Estereocentro

Um pseudocientista inglês,^{[carece de fontes?]} William Lowthian Green, propôs, em 1875, que a Terra, quando estava esfriando, tendeu a assumir a forma de um tetraedro, com quatro vértices projetando-se para fora, dando origem aos continentes, e quatro faces projetando-se para dentro, dando origem aos oceanos.^[6] Théophile Moreux citou esta hipótese no seu livro Astronomy To-day, mencionando como os quatro vértices seriam as massa da Escandinávia, Sibéria, Canadá e Antártida, opondo-se aos oceanos, Atlântico Sul, Índico, Pacífico e Ártico.^[6]

Mitologia

De acordo com Kepler, o tetraedro é o segundo, contando de fora para dentro, dos cinco sólidos que os platonistas diziam ser as figuras do mundo; a ordem seria do cubo (o mais externo), seguido do tetraedro, dodecaedro, icosaedro e octaedro.^[5] Enquanto o cubo e o dodecaedro são masculinos, e o octaedro e icosaedro femininos, o tetraedro é hermafrodita, porque ele é inscrito nele mesmo.^[5]

Jogos

O Jogo Real de Ur, datado de 2600 a.C, foi jogado com um conjunto de dados tetraédricos.

Exemplos

• 
  Tetraedro (Matemateca IME-USP)
• 
  Tetraedro rotacionando
• 
  Poliedro dual de um tetraedro

Ver também

• Tetraedro truncado
• Tetraedro triakis
• Número tetraédrico

Referências

1. W., Weisstein, Eric. «Tetrahedron». mathworld.wolfram.com (em inglês). Consultado em 29 de junho de 2017
2. Coxeter, H. S. M.: Regular Polytopes (Methuen and Co., 1948). Table I(i).
4. "Angle Between 2 Legs of a Tetrahedron" Arquivado em 3 de outubro de 2018, no Wayback Machine. – Maze5.net
5. Johannes Kepler, Harmonices Mundi, 1. Sobre as cinco figuras sólidas regulares [em linha]
6. Edna Kenton, The Book of Earths (1928), Tetrahedron Earth [em linha]

Ligações externas

• Modelo 3D Interativo do Tetraedro
• [Mundo Educação «Tetraedro Regular»] Verifique valor |url= (ajuda)

Wikcionário

O Wikcionário tem o verbete tetraedro.

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