Pirâmide

 Nota: Se procura a estrutura piramidal, veja Pirâmide (arquitetura). Se procura outros significados, veja Pirâmide (desambiguação).

Uma pirâmide é um sólido geométrico formado pela reunião dos segmentos de reta com uma extremidade em um ponto fixo ${\displaystyle V}$ e outra num polígono dado sobre um plano fixo ${\displaystyle \alpha }$ que não contém ${\displaystyle V}$.^[1] Como exemplos das pirâmides da geometria espacial temos as pirâmides do Egito,^[2] uma das sete maravilhas do mundo antigo.

Estrutura básica de uma pirâmide.

Definição

Ilustração da definição de pirâmide.

Uma pirâmide é a reunião dos segmentos de reta com uma extremidade em um ponto fixo ${\displaystyle V}$ (vértice) e outra sobre um polígono (base) pertencente a um plano que não contém ${\displaystyle V}$.^[1][2] Equivalentemente, é um poliedro com uma face poligonal (base) e demais faces triangulares (faces laterais), as quais tem exatamente um ponto em comum (vértice).^[3]

Em alguns textos, o termo pirâmide é usado de forma mais abrangente, significando a reunião de todas as semirretas que tem origem em um ponto fixo ${\displaystyle V}$ e que passam por uma região poligonal que não contém ${\displaystyle V}$. Isto é, também, conhecido como pirâmide ilimitada. Quando a região poligonal é convexa, também usamos os termos ângulo poliédrico ou ângulo sólido.^[1]

Tetraedro.

Pirâmide quadrangular.

Classificação

Uma pirâmide é dita ser convexa quando sua base é um polígono convexo.^[1] É dita ser reta quando a projeção ortogonal do vértice sobre o plano que contém sua base é o centro da base. Adicionalmente, uma pirâmide é dita ser regular quando é reta e o polígono da base é regular. Uma pirâmide que não é reta é dita ser oblíqua.^[3]

Pirâmides também são classificadas quanto a sua natureza.^[1] Uma pirâmide de base triangular é chamada de pirâmide triangular (ou tetraedro). Caso a base seja um quadrilátero, a pirâmide é dita ser quadrangular. Analogamente, definimos as pirâmides pentagonal, hexagonal, etc.^[2]

Elementos

Ilustração de alguns elementos de uma pirâmide. Altura ${\displaystyle h}$, apótema da base ${\displaystyle a_{b}}$ e apótema lateral ${\displaystyle a_{l}}$.

Os seguintes elementos são comumente identificados em uma pirâmide:^[1][2]

• base - região poligonal que contém as extremidades opostas de todos os segmentos de reta que partem do vértice e pertencem a pirâmide.
• face lateral - qualquer triângulo de vértices ${\displaystyle V}$ e dois vértices consecutivos da base.
• aresta lateral - qualquer segmento de reta com uma extremidade em ${\displaystyle V}$ e outro em um vértice da base.
• aresta da base - qualquer lado do polígono da base.
• diedros - reunião de duas faces laterais consecutivas.
• vértices - ${\displaystyle V}$ ou qualquer vértice da base.
• triedros - reunião de duas faces laterais consecutivas com a base.

Altura e Apótema

A altura de uma pirâmide é a distância ${\displaystyle h}$ entre o vértice e o plano da base. Se a pirâmide for reta, então ${\displaystyle h}$ é igual à distância do centro da base ao vértice da pirâmide.^[1][2]

No caso de uma pirâmide regular, chama-se de apótema lateral a altura de qualquer de uma de suas faces laterais. Apótema da base é a apótema do polígono regular que forma a base da pirâmide.^[1]

Área da superfície

A superfície (ou superfície total) de uma pirâmide é a união de todas as suas faces. A união somente das faces laterais é chamada de superfície lateral. Desta forma, a área da superfície lateral é a soma das áreas dos triângulos que a formam. A área da superfície total é a área da superfície lateral somada a área da base da pirâmide.^[1]

No caso de uma pirâmide regular, podemos verificar diretamente que a área da superfície lateral é dada por:

${\displaystyle A_{l}=n{\frac {ba_{l}}{2}}}$

onde, ${\displaystyle n}$ é o número de arestas do polígono da base, ${\displaystyle b}$ é o comprimento de uma aresta da base e ${\displaystyle a_{l}}$ é o comprimento da apótema lateral da pirâmide. Segue que a área da superfície total da pirâmide é dada por:

${\displaystyle A_{t}=A_{b}+A_{l}}$,

onde, ${\displaystyle A_{b}}$ é a área de sua base.

Volume

Volume de um tetraedro

Tetraedro e o prisma associado.

O volume de um tetraedro é dado por:

${\displaystyle V={\frac {A_{b}\cdot h}{3}}}$

onde, ${\displaystyle A_{b}}$ é a área de sua base e ${\displaystyle h}$ é sua altura.

Com efeito, todo tetraedro pode ser unido a dois tetraedros congruentes formando um prisma de área da base ${\displaystyle A_{b}}$ e altura ${\displaystyle h}$. Ou seja, o volume do tetraedro é um terço do volume do prisma formado.^[1][4]

Volume de uma pirâmide

O volume de uma pirâmide qualquer é dado por:^[3][5][4]

${\displaystyle V={\frac {A_{b}\cdot h}{3}}}$

onde, ${\displaystyle A_{b}}$ é a área de sua base e ${\displaystyle h}$ é sua altura. De fato, toda pirâmide pode ser particionada em um conjunto finito de tetraedros de vértice igual ao da pirâmide e cujas bases pertencem à base da mesma.

Ver também

• Pirâmides egípcias
• Pirâmides núbias
• Pirâmides chinesas
• Pirâmides mesoamericanas
• Número piramidal
• Poliedro
• Polígono
• Sólido

Referências

1. Dolce, Osvaldo Pompeo (2013). Fundamentos de Matemática Elementar - Vol. 10 7 ed. [S.l.]: Atual. ISBN 9788535717587
2. JULIANI, Kleber Sebastião. Geometria Espacial:uma visão do espaço para a vida. 2008. Universidade Estadual de Londrina, Londrina, 2008.
3. Weisstein, Eric W. «Pyramid -- from MathWorld -- A Wolfram Web Resource». Consultado em 7 de novembro de 2014
4. Lima, Elon Lages (2006). A matemática do ensino médio - volume 2 6 ed. [S.l.]: SBM. ISBN 8585818115
5. MACHADO, Paulo Antônio Fonseca. Fundamentos de Geometria Espacial. Universidade Federal de Minas Gerais, 2013.

Ligações externas

O Commons possui imagens e outros ficheiros sobre Pirâmide

• Brasil Escola - Pirâmides
• eGuia do Estudante - Pirâmides - Geometria Espacial
• InfoEscola - Pirâmide
• Matemática Essencial - Geometria Espacial - Pirâmide
• Só Matemática - Geometria Espacial - Pirâmide