Aresta

Na geometria, uma aresta é um tipo específico de segmento de reta que liga dois vértices de um polígono, poliedro, ou polítopo de dimensão maior.^[1] Em um polígono, uma aresta é um segmento de reta em sua borda,^[2] e é frequentemente chamado de lado. Em um poliedro, ou de forma mais geral em um polítopo, uma aresta é um segmento de reta em que duas faces se intersectam.^[3][4] Um segmento que liga dois vértices mas que passa pelo interior ou pelo exterior não é uma aresta e, em vez disso é chamado de diagonal.

Um cubo com 12 arestas.

Relação com as arestas em grafos

Em teoria de grafos, uma aresta é um objeto abstrato conectando dois vértices do grafo, diferentemente das arestas de polígonos e poliedros que tem uma representação concreta como um segmento de reta. No entanto, qualquer poliedro pode ser representado por seu esqueleto ou esqueleto de arestas, um grafo cujos vértices são os vértices geométricos do poliedro e cujas arestas correspondem às arestas geométricas.^[5] Reciprocamente, os grafos que são esqueletos de poliedros tridimensionais podem ser caracterizados pelo teorema de Steinitz como sendo exatamente os grafos planares grafos 3-vértice-conexos.^[6]

Número de arestas em um poliedro convexo

A superfície de qualquer poliedro convexo possui a característica de Euler $${\displaystyle V-A+F=2,}$$ em que V é o número de vértices, A é o número de arestas e F é o número de faces. Esta equação é conhecida por fórmula de Euler para poliedros convexos. Assim, o número de arestas é dois a menos do que a soma do número de vértices e de faces. Por exemplo, um cubo tem 8 vértices e 6 faces, logo possui 12 arestas.^[4]

Referências

1. Ziegler, Günter M. (1995), Lectures on Polytopes, Graduate Texts in Mathematics, 152, Springer, Definition 2.1, p. 51
2. Weisstein, Eric W. «Polygon Edge.». From MathWorld--A Wolfram Web Resource. Consultado em 4 de junho de 2016
3. Weisstein, Eric W. «Polytope Edge». From MathWorld--A Wolfram Web Resource. Consultado em 19 de maio de 2020
4. Sodré, Ulysses; Harmuch, Daniela. «Geometria Espacial: Poliedros». Consultado em 4 de junho de 2016. Arquivado do original em 4 de março de 2016
5. Senechal, Marjorie (2013), Shaping Space: Exploring Polyhedra in Nature, Art, and the Geometrical Imagination, ISBN 9780387927145, Springer, p. 81.
6. Pisanski, Tomaž; Randić, Milan (2000), «Bridges between geometry and graph theory», in: Gorini, Catherine A., Geometry at work, MAA Notes, 53, Washington, DC: Math. Assoc. America, pp. 174–194, MR 1782654. Ver especificamente o Theorem 3, p. 176.