rodzaj odwzorowania w matematyce Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Funkcja ciągła – funkcja, którą intuicyjnie można scharakteryzować jako:
funkcję, w której mała zmiana argumentu powoduje małą zmianę wartości funkcji; inaczej mówiąc, dla argumentów leżących blisko siebie wartości funkcji też leżą blisko,
Funkcja, która ma co najmniej jeden punkt nieciagłości, nazywana jest nieciagłą[1]. Tzw. funkcja ze skokami po raz pierwszy została nazwana nieciagłą (ang.discontiguous) przez Arbogasta w 1791, który badał geometryczne rozwiązania równań różniczkowych[2].
Ciągłość funkcji jest jednym z podstawowych pojęć topologii, gdzie jest definiowana w sposób najbardziej ogólny, rozszerzając pojęcie ciągłości funkcji zmiennych rzeczywistych oraz funkcji w przestrzeniach metrycznych. To ujęcie jest jednocześnie bardzo proste i pozwala jednolicie potraktować przypadki nieskończoności (bardzo potrzebne przy pojęciu granicy funkcji i granicy ciągu):
Zbiór staje się przestrzenią topologiczną, gdy dla każdego jego elementu określimy rodzinę otoczeń tego elementu – podzbiorów Musi ona spełniać pewne warunki.
Najczęściej spotykamy się z takimi przestrzeniami topologicznymi, których topologia jest wyznaczona przez metrykę, czyli sposób określania odległości punktów tej przestrzeni. Wtedy za otoczenia punktu przyjmuje się kule o środku w tym punkcie i dodatnim promieniu. Standardowo przyjmuje się kule otwarte, ale użycie kul domkniętych prowadzi do tej samej topologii. Natomiast gdyby dopuścić kule domknięte o promieniu 0, otrzymalibyśmy tzw. topologię dyskretną, na ogół inną od wprowadzonej przez metrykę.
Inaczej jest z nieskończonościami – tu nie określamy otoczeń przez metrykę: otoczeniami elementu w rozszerzonym zbiorze liczb rzeczywistych są przedziały dla dowolnych ;}
otoczeniami elementu są przedziały dla dowolnych (ciekawe są otoczenia dla ).
Niech będą dane zbiory i zawarte w przestrzeniach topologicznych, i funkcja
Definicja (topologiczna): Funkcja jest ciągła w punkcie jeśli
Definicja: Funkcja jest ciągła jeśli jest ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny, czyli w zbiorze Funkcja jest ciągła w zbiorze zawartym w jej dziedzinie jeśli jest ciągła w każdym punkcie tego zbioru.
W dalszym ciągu podajemy bardziej tradycyjne ujęcia i pokazujemy, że definicje Cauchy’ego są równoważne powyższym.
Dla funkcji rzeczywistych zmiennej rzeczywistej istnieją dwie równoważne definicje ciągłości[3]:
Cauchy’ego – podana przez Augustina Louisa Cauchy’ego[4], nazywana też epsilonowo-deltową z racji używania liter oraz w definicji;
Funkcja jest ciągła w punkcie wtedy i tylko wtedy gdy:
Definicja ta jest równoważna topologicznej: warunek oznacza, że należy do kuli otwartej o środku i promieniu (czyli do otoczenia ). Warunek oznacza, że należy do kuli otwartej o środku i promieniu (czyli do otoczenia ). Tak więc zapis oznacza wybranie otoczenia a zapis oznacza dobranie do niego otoczenia (zamiast pisać Cauchy pisze ( pełni rolę ), a warunek przynależności do przenosi do poprzednika implikacji).
Definicja Heinego
Funkcja jest ciągła w punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu liczb z który jest zbieżny do ciąg wartości jest zbieżny do czyli
Jeżeli funkcja spełnia jeden z powyższych warunków dla każdego to jest ona ciągła na zbiorze odpowiednio w sensie Cauchy’ego lub w sensie Heinego.
Mówimy, że funkcja jest ciągła, jeżeli jest ciągła na całej swojej dziedzinie.
Uwagi do definicji
Z obiema definicjami ciągłości funkcji w punkcie ściśle związane są odpowiednie definicje granicy funkcji w punkcie.
Zgodnie z powyższą definicją każda funkcja jest ciągła w punkcie izolowanym, tj. nie będącym punktem skupienia zbioru
Związanie z trzecim kwantyfikatorem we wzorze na ciągłość w sensie Cauchy’ego dwóch zmiennych z danego zbioru
Obie definicje (Cauchy’ego i Heinego) są równoważne już przy założeniu bardzo słabej wersji aksjomatu wyboru, i nie jest on potrzebny dla dowodu równoważności globalnej ciągłości w odpowiednich znaczeniach.
Ciągłość jednostronna
Rozpatruje się czasami funkcje ciągłe jednostronnie: lewo- i prawostronne. Dla definicji Cauchy’ego należy dodać warunek dla mianowicie aby otrzymać funkcję ciągłą lewostronnie. Definicja funkcji ciągłej prawostronnie wymaga zmiany powyższej nierówności na przeciwną. Definicja Heinego wymaga wybrania dowolnego ciągu zbliżającego się do wyłącznie punktami z lewej lub prawej strony.
Przykłady
Rozpatrujemy funkcje
Wszystkie funkcje elementarne są ciągłe w swojej dziedzinie (co jest również prawdą dla funkcji ).
W przestrzeniach metrycznych i przestrzeniach unormowanych stosuje się nieznacznie tylko zmodyfikowane wersje definicji Cauchy’ego, zastępując każdą wartość bezwzględną różnicy odpowiednią dla każdej przestrzeni metryką lub normą różnicy.
Dla przestrzeni metrycznych oraz funkcja jest ciągła w punkcie jeśli prawdziwe jest zdanie
Powyższą implikację można zapisać również w postaci
albo
gdzie oznaczają kule otwarte odpowiednio w oraz oznaczają środek i promień kuli (analogicznie jest dla kuli ).
Odpowiednikiem definicji ciągłości funkcji w sensie Heinego jest:
Przykłady
Dwuargumentowe działania algebraiczne zdefiniowane dla Zbiór liczb zespolonych jest przestrzenią metryczną w metryką zbiór par liczb zespolonych jest przestrzenią metryczną w metryką gdzie oznacza moduł liczby zespolonej.
Jednoargumentowe działanie algebraiczne zdefiniowane dla
Jednoargumentowe działanie zdefiniowane dla
Metryka naturalna na sferze zdefiniowana formalnie jako czyli jako kąt między niezerowymi wektorami
Definicja
Ciągłość funkcji w punkcie dla otoczenia punktu możemy znaleźć otoczenie punktu takie, że jest zawarte w
Najpełniejszą oraz najogólniejszą definicję ciągłości wprowadza się w topologii[5].
Mówimy, że funkcja jest ciągła w punkcie jeżeli dla każdego otoczenia punktu istnieje otoczenie punktu takie, że jego obraz zawiera się w (patrz rysunek obok).
Jeśli przestrzenie są metryzowalne, to powyższa definicja zgadza się z definicją ciągłości w sensie Cauchy’ego podaną wyżej.
Badanie ciągłości funkcji między przestrzeniami topologicznymi
W topologii często bada się przestrzeń, której elementami są funkcje ciągłe z jednej przestrzeni topologicznej w inną. Niech i będą przestrzeniami topologicznymi oraz
Aby sprawdzić ciągłość funkcji nie trzeba badać wszystkich elementów topologii danej przestrzeni.
Można zbadać dla pewnej bazy tej przestrzeni: funkcja jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy przeciwobraz każdego zbioru otwartego jest otwarty, tj. należy do topologii
Ciągłość można także badać za pomocą zbiorów domkniętych. Mianowicie, funkcja jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi jakikolwiek z następujących warunków:
przeciwobraz dowolnego zbioru domkniętego w jest domknięty w
dla każdego zbioru spełniony jest warunek gdzie oznacza domknięcie zbioru
dla każdego zbioru spełniony jest warunek
Każda z poniższych własności jest zachowywana przez obrazy funkcji ciągłej, tzn. jeżeli jest funkcją ciągłą oraz ma jedną z poniższych własności, to ma ją również obraz
Jeśli zbiór jest gęsty w a są ciągłe oraz dla każdego to
Przestrzeń funkcji ciągłych między przestrzeniami topologicznymi
Przestrzeń, której elementami są funkcje ciągłe z przestrzeni topologicznej w inną przestrzeń jest oznaczana symbolem Przestrzeń ta jest szczególnym przypadkiem przestrzeni funkcyjnej.
Jednym z najbardziej popularnych przykładów są przestrzenie funkcji ciągłych o wartościach w liczbach rzeczywistych. Pierścień o elementach będących odwzorowaniami ciągłymi z w i operacjach algebraicznych wprowadzanych „punktowo” jest ważnym obiektem topologicznym. Przeprowadzono wiele badań w poszukiwaniu związków struktury algebraicznej tego pierścienia ze strukturą topologiczną przestrzeni
Na przestrzeni rozważa się także strukturę topologiczną, wprowadzając topologie: